Theorem chjcl 29764

Description: Closure of join in C_ℋ. (Contributed by NM, 2-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chjcl	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )

Proof of Theorem chjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 29631	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
2		chsh 29631	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
3		shjcl 29763	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
4	1, 2, 3	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7307   S_ℋ csh 29335   C_ℋ cch 29336   ∨_ℋ chj 29340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9443  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995  ax-addf 10996  ax-mulf 10997  ax-hilex 29406  ax-hfvadd 29407  ax-hvcom 29408  ax-hvass 29409  ax-hv0cl 29410  ax-hvaddid 29411  ax-hfvmul 29412  ax-hvmulid 29413  ax-hvmulass 29414  ax-hvdistr1 29415  ax-hvdistr2 29416  ax-hvmul0 29417  ax-hfi 29486  ax-his1 29489  ax-his2 29490  ax-his3 29491  ax-his4 29492  ax-hcompl 29609

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9173  df-fi 9214  df-sup 9245  df-inf 9246  df-oi 9313  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-q 12735  df-rp 12777  df-xneg 12894  df-xadd 12895  df-xmul 12896  df-ioo 13129  df-icc 13132  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-seq 13768  df-exp 13829  df-hash 14091  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-clim 15242  df-sum 15443  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-starv 17022  df-sca 17023  df-vsca 17024  df-ip 17025  df-tset 17026  df-ple 17027  df-ds 17029  df-unif 17030  df-hom 17031  df-cco 17032  df-rest 17178  df-topn 17179  df-0g 17197  df-gsum 17198  df-topgen 17199  df-pt 17200  df-prds 17203  df-xrs 17258  df-qtop 17263  df-imas 17264  df-xps 17266  df-mre 17340  df-mrc 17341  df-acs 17343  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-submnd 18476  df-mulg 18746  df-cntz 18968  df-cmn 19433  df-psmet 20634  df-xmet 20635  df-met 20636  df-bl 20637  df-mopn 20638  df-cnfld 20643  df-top 22088  df-topon 22105  df-topsp 22127  df-bases 22141  df-cn 22423  df-cnp 22424  df-lm 22425  df-haus 22511  df-tx 22758  df-hmeo 22951  df-xms 23518  df-ms 23519  df-tms 23520  df-cau 24465  df-grpo 28900  df-gid 28901  df-ginv 28902  df-gdiv 28903  df-ablo 28952  df-vc 28966  df-nv 28999  df-va 29002  df-ba 29003  df-sm 29004  df-0v 29005  df-vs 29006  df-nmcv 29007  df-ims 29008  df-dip 29108  df-hnorm 29375  df-hvsub 29378  df-hlim 29379  df-hcau 29380  df-sh 29614  df-ch 29628  df-oc 29659  df-chj 29717

This theorem is referenced by:  chj4  29942  cm0  30016  pjoml5  30020  fh1  30025  fh2  30026  cm2j  30027  spansnscl  30055  hstle  30637  strlem3a  30659  hstrlem3a  30667  spansncv2  30700  mdbr2  30703  dmdmd  30707  dmdbr3  30712  dmdbr4  30713  dmdbr5  30715  mdsl1i  30728  mdsl2i  30729  mdslmd1i  30736  mdexchi  30742  cvdmd  30744  chcv1  30762  cvati  30773  cvexchlem  30775  atcv0eq  30786  atexch  30788  atomli  30789  atcvatlem  30792  atcvat2i  30794  chirredlem3  30799  atcvat3i  30803  atcvat4i  30804  mdsymlem1  30810  mdsymlem3  30812  mdsymlem5  30814  mdsymlem6  30815  dmdbr5ati  30829