Theorem shless 31388

Description: Subset implies subset of subspace sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shless	⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 +ℋ 𝐶))

Proof of Theorem shless

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrexv 4065	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
3		simpl1 1190	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Sℋ )
4		simpl3 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ∈ Sℋ )
5		shsel 31343	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
7		simpl2 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ Sℋ )
8		shsel 31343	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
9	7, 4, 8	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
10	2, 6, 9	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶)))
11	10	ssrdv 4001	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 +ℋ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963  (class class class)co 7431   +_ℎ cva 30949   S_ℋ csh 30957   +_ℋ cph 30960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-grpo 30522  df-ablo 30574  df-hvsub 31000  df-sh 31236  df-shs 31337

This theorem is referenced by:  shlessi  31406  pjpjpre  31448  chscllem1  31666  chscllem2  31667  chscllem3  31668