Theorem shless 31046

Description: Subset implies subset of subspace sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shless	⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 +ℋ 𝐶))

Proof of Theorem shless

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrexv 4051	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
3		simpl1 1190	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Sℋ )
4		simpl3 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ∈ Sℋ )
5		shsel 31001	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
6	3, 4, 5	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
7		simpl2 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ Sℋ )
8		shsel 31001	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
9	7, 4, 8	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
10	2, 6, 9	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶)))
11	10	ssrdv 3988	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 +ℋ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3948  (class class class)co 7412   +_ℎ cva 30607   S_ℋ csh 30615   +_ℋ cph 30618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-hilex 30686  ax-hfvadd 30687  ax-hvcom 30688  ax-hvass 30689  ax-hv0cl 30690  ax-hvaddid 30691  ax-hfvmul 30692  ax-hvmulid 30693  ax-hvdistr2 30696  ax-hvmul0 30697

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260  df-sub 11453  df-neg 11454  df-grpo 30180  df-ablo 30232  df-hvsub 30658  df-sh 30894  df-shs 30995

This theorem is referenced by:  shlessi  31064  pjpjpre  31106  chscllem1  31324  chscllem2  31325  chscllem3  31326