HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shless Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shless 30130
Description: Subset implies subset of subspace sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shless (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 + 𝐶) ⊆ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem shless
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrexv 4010 . . . 4 (𝐴𝐵 → (∃𝑦𝐴𝑧𝐶 𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐶 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
21adantl 483 . . 3 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (∃𝑦𝐴𝑧𝐶 𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐶 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
3 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴S )
4 simpl3 1194 . . . 4 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶S )
5 shsel 30085 . . . 4 ((𝐴S𝐶S ) → (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐶) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧𝐶 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
63, 4, 5syl2anc 585 . . 3 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐶) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧𝐶 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
7 simpl2 1193 . . . 4 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵S )
8 shsel 30085 . . . 4 ((𝐵S𝐶S ) → (𝑥 ∈ (𝐵 + 𝐶) ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝐶 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
97, 4, 8syl2anc 585 . . 3 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐵 + 𝐶) ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝐶 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
102, 6, 93imtr4d 294 . 2 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵 + 𝐶)))
1110ssrdv 3949 1 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 + 𝐶) ⊆ (𝐵 + 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3072  wss 3909  (class class class)co 7352   + cva 29691   S csh 29699   + cph 29702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-hilex 29770  ax-hfvadd 29771  ax-hvcom 29772  ax-hvass 29773  ax-hv0cl 29774  ax-hvaddid 29775  ax-hfvmul 29776  ax-hvmulid 29777  ax-hvdistr2 29780  ax-hvmul0 29781
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-ltxr 11153  df-sub 11346  df-neg 11347  df-grpo 29264  df-ablo 29316  df-hvsub 29742  df-sh 29978  df-shs 30079
This theorem is referenced by:  shlessi  30148  pjpjpre  30190  chscllem1  30408  chscllem2  30409  chscllem3  30410
  Copyright terms: Public domain W3C validator