Theorem shless 31430

Description: Subset implies subset of subspace sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shless	⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 +ℋ 𝐶))

Proof of Theorem shless

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrexv 3991	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
3		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Sℋ )
4		simpl3 1195	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ∈ Sℋ )
5		shsel 31385	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
6	3, 4, 5	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
7		simpl2 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ Sℋ )
8		shsel 31385	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
9	7, 4, 8	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
10	2, 6, 9	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐶)))
11	10	ssrdv 3927	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 +ℋ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889  (class class class)co 7367   +_ℎ cva 30991   S_ℋ csh 30999   +_ℋ cph 31002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-hilex 31070  ax-hfvadd 31071  ax-hvcom 31072  ax-hvass 31073  ax-hv0cl 31074  ax-hvaddid 31075  ax-hfvmul 31076  ax-hvmulid 31077  ax-hvdistr2 31080  ax-hvmul0 31081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380  df-grpo 30564  df-ablo 30616  df-hvsub 31042  df-sh 31278  df-shs 31379

This theorem is referenced by:  shlessi  31448  pjpjpre  31490  chscllem1  31708  chscllem2  31709  chscllem3  31710