Theorem uncom 4114

Description: Commutative law for union of classes. Exercise 6 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
uncom	⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐵 ∪ 𝐴)

Proof of Theorem uncom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orcom 883	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴))
2		elun 4109	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴))
3	1, 2	bitr4i 281	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵 ∪ 𝐴))
4	3	uneqri 4112	1 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐵 ∪ 𝐴)

Syntax hints:   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-tru 1566  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-v 3459  df-un 3912

This theorem is referenced by:  equncom  4115  uneq2  4118  un12  4128  un23  4129  ssun2  4134  unss2  4142  ssequn2  4144  symdifcom  4209  undir  4242  unineq  4243  dif32  4257  0un  4353  disjpss  4418  undif1  4433  undif2  4434  difcom  4445  uneqdifeq  4449  dfif4  4499  dfif5  4500  pwundif  4583  prcom  4694  tpass  4714  prprc1  4727  ssunsn2  4788  sstp  4796  unidif0OLD  5321  difxp2  6154  suc0  6427  fununfun  6573  fnunres2  6638  fresaunres2  6740  fresaunres1  6741  f1oprswap  6856  fvun2  6963  fvsnun2  7171  fsnunfv  7175  fveqf1o  7290  difex2  7747  elpwun  7756  fnsuppeq0  8176  oev2  8496  oacomf1o  8538  undifixp  8920  dfdom2  8963  domunsncan  9053  enfixsn  9062  domunsn  9103  limensuci  9129  findcard2  9137  findcard2s  9138  unfi  9143  ssfi  9145  enp1ilem  9226  frfi  9233  domunfican  9269  fsuppunbi  9337  elfiun  9378  infdifsn  9614  cantnfp1lem3  9637  rankmapu  9838  djuunxp  9895  infunsdom1  10183  infunsdom  10184  infxp  10185  ackbij1lem2  10191  ackbij1lem18  10207  fin1a2lem10  10381  fin1a2lem13  10384  zornn0g  10477  alephadd  10550  fpwwe2lem12  10615  canthp1lem1  10625  xrsupss  13323  xrinfmss  13324  supxrmnf  13331  prunioo  13496  fzsuc2  13598  fzdifsuc  13600  fseq1p1m1  13614  hashinf  14359  hashun3  14408  hashbclem  14477  relexpcnv  15060  fsumsplit1  15784  modfsummods  15833  incexclem  15878  lcmfunsnlem  16687  ramub1lem1  17074  setsid  17255  mreexexlem3d  17690  mreexexlem4d  17691  cnvtsr  18632  symgvalstruct  19455  gsumzaddlem  19979  gsummptfzsplitl  19991  dmdprdsplit2  20106  lspsnat  21235  lsppratlem3  21239  indistopon  23115  indistps  23125  indistps2  23126  ordtcnv  23315  leordtval2  23326  lecldbas  23333  cmpcld  23516  iunconn  23542  ufprim  24023  alexsubALTlem3  24163  ptcmplem1  24166  xpsdsval  24495  iccntr  24936  reconn  24943  volun  25661  voliunlem1  25666  icombl  25680  ioombl  25681  ismbf3d  25770  itgioo  25932  itgsplitioo  25954  lhop  26132  plyeq0  26325  fta1lem  26425  birthdaylem2  27071  lgsquadlem2  27499  nosepdm  27802  addscom  28113  addsproplem4  28119  addsproplem6  28121  negsproplem4  28178  negsproplem6  28180  negbdaylem  28203  mulscom  28286  mulsass  28313  usgrfilem  29582  ex-dif  30679  shjcom  31615  indifundif  32776  imadifxp  32852  difioo  33035  nn0diffz0  33047  gsummulsubdishift1  33296  symgcom  33311  pmtrcnel2  33318  cycpmcl  33344  cycpm2tr  33347  tocyccntz  33372  lindsunlem  33926  lindsun  33927  fldext2rspun  33984  ordtcnvNEW  34222  xrge0iifcnv  34235  prsiga  34433  unelldsys  34460  measun  34513  measunl  34518  difelcarsg  34612  carsgclctunlem1  34619  carsggect  34620  eulerpartgbij  34674  circlemethhgt  34942  hgt750lemb  34955  bnj1416  35339  f1resfz0f1d  35471  subfacp1lem1  35537  subfacp1lem3  35540  pconnconn  35589  indispconn  35592  satfv1lem  35720  hfun  36536  onint1  36817  bj-fununsn2  37753  pibt2  37918  lindsenlbs  38121  poimirlem3  38129  poimirlem5  38131  poimirlem11  38137  poimirlem12  38138  poimirlem13  38139  poimirlem14  38140  poimirlem15  38141  poimirlem16  38142  poimirlem19  38145  poimirlem20  38146  poimirlem21  38147  poimirlem22  38148  poimirlem28  38154  poimirlem30  38156  ecuncnvepres  38901  padd02  40443  paddcom  40444  pclfinclN  40581  djhcom  42036  elrfi  43282  fzsplit1nn0  43342  eldioph2lem1  43348  eldioph2lem2  43349  diophin  43360  eldioph4b  43395  diophren  43397  kelac2  43649  pwssplit4  43673  iocunico  43795  rp-fakeuninass  44099  iunrelexp0  44285  corcltrcl  44322  frege124d  44344  mnuprdlem1  44841  equncomVD  45435  iunconnlem2  45502  snunioo1  46087  iccdifioo  46090  limciccioolb  46196  sumnnodd  46205  dirkercncflem2  46677  dirkercncflem3  46678  fourierdlem32  46712  fourierdlem93  46772  isomenndlem  47103  hoidmvlelem2  47169  hspmbllem1  47199  hspmbllem2  47200  fsumsplitsndif  47974  isubgr3stgrlem1  48587  usgrexmpl1edg  48645  usgrexmpl2edg  48650  aacllem  50431