HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shunssji Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shunssji 28562
Description: Union is smaller than Hilbert lattice join. (Contributed by NM, 11-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1 𝐴S
shincl.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
shunssji (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵)

Proof of Theorem shunssji
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . . . . 5 𝐴S
21shssii 28404 . . . 4 𝐴 ⊆ ℋ
3 shincl.2 . . . . 5 𝐵S
43shssii 28404 . . . 4 𝐵 ⊆ ℋ
52, 4unssi 3994 . . 3 (𝐴𝐵) ⊆ ℋ
6 ococss 28486 . . 3 ((𝐴𝐵) ⊆ ℋ → (𝐴𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵))))
75, 6ax-mp 5 . 2 (𝐴𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵)))
8 shjval 28544 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵))))
91, 3, 8mp2an 675 . 2 (𝐴 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐵)))
107, 9sseqtr4i 3842 1 (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1637  wcel 2157  cun 3774  wss 3776  cfv 6104  (class class class)co 6877  chil 28110   S csh 28119  cort 28121   chj 28124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-hilex 28190  ax-hfvadd 28191  ax-hv0cl 28194  ax-hfvmul 28196  ax-hvmul0 28201  ax-hfi 28270  ax-his1 28273  ax-his2 28274  ax-his3 28275
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-op 4384  df-uni 4638  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-id 5226  df-po 5239  df-so 5240  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-2 11367  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sh 28398  df-oc 28443  df-chj 28503
This theorem is referenced by:  shsleji  28563  chunssji  28660
  Copyright terms: Public domain W3C validator