Theorem shunssji 29256

Description: Union is smaller than Hilbert lattice join. (Contributed by NM, 11-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shincl.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shunssji	⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)

Proof of Theorem shunssji

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2	1	shssii 29100	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
3		shincl.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	3	shssii 29100	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ ℋ
5	2, 4	unssi 4092	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ
6		ococss 29180	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
8		shjval 29238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
9	1, 3, 8	mp2an 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
10	7, 9	sseqtrri 3931	1 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3858   ⊆ wss 3860  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ℋchba 28806   S_ℋ csh 28815  ⊥cort 28817   ∨_ℋ chj 28820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-hilex 28886  ax-hfvadd 28887  ax-hv0cl 28890  ax-hfvmul 28892  ax-hvmul0 28897  ax-hfi 28966  ax-his1 28969  ax-his2 28970  ax-his3 28971

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-po 5446  df-so 5447  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-2 11742  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sh 29094  df-oc 29139  df-chj 29197

This theorem is referenced by:  shsleji  29257  chunssji  29354