Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigaval 33104
Description: The set of sigma-algebra with a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaval (𝑂 ∈ V β†’ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) = {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))})
Distinct variable group:   π‘₯,𝑠,𝑂

Proof of Theorem sigaval
Dummy variable π‘œ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3433 . . . 4 {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))}
2 velpw 4607 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ 𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂)
32anbi1i 624 . . . . 5 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))) ↔ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))))
43abbii 2802 . . . 4 {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))} = {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))}
51, 4eqtri 2760 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))} = {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))}
6 pwexg 5376 . . . 4 (𝑂 ∈ V β†’ 𝒫 𝑂 ∈ V)
7 pwexg 5376 . . . 4 (𝒫 𝑂 ∈ V β†’ 𝒫 𝒫 𝑂 ∈ V)
8 rabexg 5331 . . . 4 (𝒫 𝒫 𝑂 ∈ V β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))} ∈ V)
96, 7, 83syl 18 . . 3 (𝑂 ∈ V β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))} ∈ V)
105, 9eqeltrrid 2838 . 2 (𝑂 ∈ V β†’ {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))} ∈ V)
11 pweq 4616 . . . . . 6 (π‘œ = 𝑂 β†’ 𝒫 π‘œ = 𝒫 𝑂)
1211sseq2d 4014 . . . . 5 (π‘œ = 𝑂 β†’ (𝑠 βŠ† 𝒫 π‘œ ↔ 𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂))
13 eleq1 2821 . . . . . 6 (π‘œ = 𝑂 β†’ (π‘œ ∈ 𝑠 ↔ 𝑂 ∈ 𝑠))
14 difeq1 4115 . . . . . . . 8 (π‘œ = 𝑂 β†’ (π‘œ βˆ– π‘₯) = (𝑂 βˆ– π‘₯))
1514eleq1d 2818 . . . . . . 7 (π‘œ = 𝑂 β†’ ((π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ↔ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠))
1615ralbidv 3177 . . . . . 6 (π‘œ = 𝑂 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠))
1713, 163anbi12d 1437 . . . . 5 (π‘œ = 𝑂 β†’ ((π‘œ ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)) ↔ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))))
1812, 17anbi12d 631 . . . 4 (π‘œ = 𝑂 β†’ ((𝑠 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))) ↔ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))))
1918abbidv 2801 . . 3 (π‘œ = 𝑂 β†’ {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))} = {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))})
20 df-siga 33102 . . 3 sigAlgebra = (π‘œ ∈ V ↦ {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))})
2119, 20fvmptg 6996 . 2 ((𝑂 ∈ V ∧ {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))} ∈ V) β†’ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) = {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))})
2210, 21mpdan 685 1 (𝑂 ∈ V β†’ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) = {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Ο‰com 7854   β‰Ό cdom 8936  sigAlgebracsiga 33101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-siga 33102
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator