Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigaval 32750
Description: The set of sigma-algebra with a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaval (𝑂 ∈ V β†’ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) = {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))})
Distinct variable group:   π‘₯,𝑠,𝑂

Proof of Theorem sigaval
Dummy variable π‘œ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3411 . . . 4 {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))}
2 velpw 4570 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ 𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂)
32anbi1i 625 . . . . 5 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))) ↔ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))))
43abbii 2807 . . . 4 {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))} = {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))}
51, 4eqtri 2765 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))} = {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))}
6 pwexg 5338 . . . 4 (𝑂 ∈ V β†’ 𝒫 𝑂 ∈ V)
7 pwexg 5338 . . . 4 (𝒫 𝑂 ∈ V β†’ 𝒫 𝒫 𝑂 ∈ V)
8 rabexg 5293 . . . 4 (𝒫 𝒫 𝑂 ∈ V β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))} ∈ V)
96, 7, 83syl 18 . . 3 (𝑂 ∈ V β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))} ∈ V)
105, 9eqeltrrid 2843 . 2 (𝑂 ∈ V β†’ {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))} ∈ V)
11 pweq 4579 . . . . . 6 (π‘œ = 𝑂 β†’ 𝒫 π‘œ = 𝒫 𝑂)
1211sseq2d 3981 . . . . 5 (π‘œ = 𝑂 β†’ (𝑠 βŠ† 𝒫 π‘œ ↔ 𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂))
13 eleq1 2826 . . . . . 6 (π‘œ = 𝑂 β†’ (π‘œ ∈ 𝑠 ↔ 𝑂 ∈ 𝑠))
14 difeq1 4080 . . . . . . . 8 (π‘œ = 𝑂 β†’ (π‘œ βˆ– π‘₯) = (𝑂 βˆ– π‘₯))
1514eleq1d 2823 . . . . . . 7 (π‘œ = 𝑂 β†’ ((π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ↔ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠))
1615ralbidv 3175 . . . . . 6 (π‘œ = 𝑂 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠))
1713, 163anbi12d 1438 . . . . 5 (π‘œ = 𝑂 β†’ ((π‘œ ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)) ↔ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))))
1812, 17anbi12d 632 . . . 4 (π‘œ = 𝑂 β†’ ((𝑠 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))) ↔ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))))
1918abbidv 2806 . . 3 (π‘œ = 𝑂 β†’ {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))} = {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))})
20 df-siga 32748 . . 3 sigAlgebra = (π‘œ ∈ V ↦ {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))})
2119, 20fvmptg 6951 . 2 ((𝑂 ∈ V ∧ {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))} ∈ V) β†’ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) = {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))})
2210, 21mpdan 686 1 (𝑂 ∈ V β†’ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) = {𝑠 ∣ (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠)))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  Ο‰com 7807   β‰Ό cdom 8888  sigAlgebracsiga 32747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-siga 32748
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator