Theorem snelmap 44986

Description: Membership of the element in the range of a constant map. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
snelmap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
snelmap.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
snelmap.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
snelmap.e	⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
snelmap	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem snelmap

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snelmap.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		n0 4376	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
4		vex 3492	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	fvconst2 7243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦) = 𝑥)
6	5	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑥 = ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 = ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦))
8		snelmap.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
9		snelmap.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
10		snelmap.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11		elmapg 8899	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐵))
12	9, 10, 11	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐵))
13	8, 12	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐵)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐵)
15		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
16	14, 15	ffvelcdmd 7121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦) ∈ 𝐵)
17	7, 16	eqeltrd 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
18	17	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
19	18	exlimdv 1932	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
20	3, 19	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∅c0 4352  {csn 4648   × cxp 5698  ⟶wf 6571  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450   ↑_m cmap 8886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-fv 6583  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-map 8888

This theorem is referenced by:  mapssbi  45122