Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snelmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snelmap 41223
Description: Membership of the element in the range of a constant map. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
snelmap.a (𝜑𝐴𝑉)
snelmap.b (𝜑𝐵𝑊)
snelmap.n (𝜑𝐴 ≠ ∅)
snelmap.e (𝜑 → (𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵m 𝐴))
Assertion
Ref Expression
snelmap (𝜑𝑥𝐵)

Proof of Theorem snelmap
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snelmap.n . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
2 n0 4307 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
31, 2sylib 219 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 𝑦𝐴)
4 vex 3495 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
54fvconst2 6958 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 → ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦) = 𝑥)
65eqcomd 2824 . . . . . 6 (𝑦𝐴𝑥 = ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦))
76adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑥 = ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦))
8 snelmap.e . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵m 𝐴))
9 snelmap.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑊)
10 snelmap.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑉)
11 elmapg 8408 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑊𝐴𝑉) → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵m 𝐴) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴𝐵))
129, 10, 11syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵m 𝐴) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴𝐵))
138, 12mpbid 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 × {𝑥}):𝐴𝐵)
1413adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴𝐵)
15 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
1614, 15ffvelrnd 6844 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦) ∈ 𝐵)
177, 16eqeltrd 2910 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑥𝐵)
1817ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐴𝑥𝐵))
1918exlimdv 1925 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 𝑦𝐴𝑥𝐵))
203, 19mpd 15 1 (𝜑𝑥𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  c0 4288  {csn 4557   × cxp 5546  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397
This theorem is referenced by:  mapssbi  41352
  Copyright terms: Public domain W3C validator