Theorem snelmap 45048

Description: Membership of the element in the range of a constant map. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
snelmap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
snelmap.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
snelmap.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
snelmap.e	⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
snelmap	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem snelmap

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snelmap.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		n0 4324	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
4		vex 3459	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	fvconst2 7185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦) = 𝑥)
6	5	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑥 = ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 = ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦))
8		snelmap.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
9		snelmap.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
10		snelmap.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11		elmapg 8816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐵))
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐵))
13	8, 12	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐵)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐵)
15		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
16	14, 15	ffvelcdmd 7064	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦) ∈ 𝐵)
17	7, 16	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
18	17	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
19	18	exlimdv 1933	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
20	3, 19	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2927  ∅c0 4304  {csn 4597   × cxp 5644  ⟶wf 6515  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394   ↑_m cmap 8803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5541  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-fv 6527  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-map 8805

This theorem is referenced by:  mapssbi  45179