Theorem snelmap 45537

Description: Membership of the element in the range of a constant map. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
snelmap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
snelmap.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
snelmap.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
snelmap.e	⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
snelmap	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem snelmap

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snelmap.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		n0 4288	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylib 219	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
4		vex 3436	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	fvconst2 7155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦) = 𝑥)
6	5	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑥 = ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦))
7	6	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 = ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦))
8		snelmap.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
9		snelmap.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
10		snelmap.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11		elmapg 8783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐵))
12	9, 10, 11	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐵))
13	8, 12	mpbid 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐵)
14	13	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐵)
15		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
16	14, 15	ffvelcdmd 7033	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦) ∈ 𝐵)
17	7, 16	eqeltrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
18	17	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
19	18	exlimdv 1940	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
20	3, 19	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∅c0 4268  {csn 4562   × cxp 5623  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-map 8772

This theorem is referenced by:  mapssbi  45665