Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snelmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snelmap 43197
Description: Membership of the element in the range of a constant map. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
snelmap.a (𝜑𝐴𝑉)
snelmap.b (𝜑𝐵𝑊)
snelmap.n (𝜑𝐴 ≠ ∅)
snelmap.e (𝜑 → (𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵m 𝐴))
Assertion
Ref Expression
snelmap (𝜑𝑥𝐵)

Proof of Theorem snelmap
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snelmap.n . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
2 n0 4305 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
31, 2sylib 217 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 𝑦𝐴)
4 vex 3448 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
54fvconst2 7150 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 → ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦) = 𝑥)
65eqcomd 2744 . . . . . 6 (𝑦𝐴𝑥 = ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦))
76adantl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑥 = ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦))
8 snelmap.e . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵m 𝐴))
9 snelmap.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑊)
10 snelmap.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑉)
11 elmapg 8737 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑊𝐴𝑉) → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵m 𝐴) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴𝐵))
129, 10, 11syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵m 𝐴) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴𝐵))
138, 12mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 × {𝑥}):𝐴𝐵)
1413adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴𝐵)
15 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
1614, 15ffvelcdmd 7033 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦) ∈ 𝐵)
177, 16eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑥𝐵)
1817ex 414 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐴𝑥𝐵))
1918exlimdv 1937 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 𝑦𝐴𝑥𝐵))
203, 19mpd 15 1 (𝜑𝑥𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2942  c0 4281  {csn 4585   × cxp 5630  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7352  m cmap 8724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-fv 6502  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-map 8726
This theorem is referenced by:  mapssbi  43333
  Copyright terms: Public domain W3C validator