Theorem snelmap 46042

Description: Membership of the element in the range of a constant map. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
snelmap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
snelmap.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
snelmap.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
snelmap.e	⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
snelmap	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem snelmap

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snelmap.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		n0 4300	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
4		vex 3455	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	fvconst2 7202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦) = 𝑥)
6	5	eqcomd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑥 = ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦))
7	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 = ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦))
8		snelmap.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
9		snelmap.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
10		snelmap.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11		elmapg 8843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐵))
12	9, 10, 11	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐵))
13	8, 12	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐵)
14	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐵)
15		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
16	14, 15	ffvelcdmd 7077	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝑥})‘𝑦) ∈ 𝐵)
17	7, 16	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
18	17	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
19	18	exlimdv 1966	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
20	3, 19	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∅c0 4279  {csn 4584   × cxp 5649  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8831

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8833

This theorem is used by:  mapssbi  46169