Theorem xrnmnfpnf 45664

Description: An extended real that is neither real nor minus infinity, is plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrnmnfpnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrnmnfpnf.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
xrnmnfpnf.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)

Assertion

Ref	Expression
xrnmnfpnf	⊢ (𝜑 → 𝐴 = +∞)

Proof of Theorem xrnmnfpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnmnfpnf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrnmnfpnf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)
3	1, 2	jca 519	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
4		xrnemnf 13120	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
5	3, 4	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
6		xrnmnfpnf.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
7		pm2.53 862	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → (¬ 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = +∞))
8	5, 6, 7	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ℝcr 11073  +∞cpnf 11214  -∞cmnf 11215  ℝ^*cxr 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221

This theorem is referenced by:  infxr  45943  dfxlim2v  46422  xlimliminflimsup  46437