Theorem xrnmnfpnf 42155

Description: An extended real that is neither real nor minus infinity, is plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrnmnfpnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrnmnfpnf.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
xrnmnfpnf.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)

Assertion

Ref	Expression
xrnmnfpnf	⊢ (𝜑 → 𝐴 = +∞)

Proof of Theorem xrnmnfpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnmnfpnf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrnmnfpnf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)
3	1, 2	jca 515	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
4		xrnemnf 12588	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
5	3, 4	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
6		xrnmnfpnf.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
7		pm2.53 850	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → (¬ 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = +∞))
8	5, 6, 7	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934  ℝcr 10607  +∞cpnf 10743  -∞cmnf 10744  ℝ^*cxr 10745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750

This theorem is referenced by:  infxr  42428  dfxlim2v  42914  xlimliminflimsup  42929