Theorem xrnmnfpnf 44074

Description: An extended real that is neither real nor minus infinity, is plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrnmnfpnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrnmnfpnf.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
xrnmnfpnf.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)

Assertion

Ref	Expression
xrnmnfpnf	⊢ (𝜑 → 𝐴 = +∞)

Proof of Theorem xrnmnfpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnmnfpnf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrnmnfpnf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
4		xrnemnf 13102	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
5	3, 4	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
6		xrnmnfpnf.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
7		pm2.53 848	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → (¬ 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = +∞))
8	5, 6, 7	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ℝcr 11112  +∞cpnf 11250  -∞cmnf 11251  ℝ^*cxr 11252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257

This theorem is referenced by:  infxr  44376  dfxlim2v  44862  xlimliminflimsup  44877