Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sprvalpwn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sprvalpwn0 47408
Description: The set of all unordered pairs over a given set 𝑉, expressed by a restricted class abstraction. (Contributed by AV, 21-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
sprvalpwn0 (𝑉𝑊 → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝   𝑊,𝑎,𝑏,𝑝

Proof of Theorem sprvalpwn0
StepHypRef Expression
1 sprvalpw 47405 . 2 (𝑉𝑊 → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
2 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
3 vex 3482 . . . . . . . . . . 11 𝑎 ∈ V
43prnz 4782 . . . . . . . . . 10 {𝑎, 𝑏} ≠ ∅
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → {𝑎, 𝑏} ≠ ∅)
62, 5eqnetrd 3006 . . . . . . . 8 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 ≠ ∅)
76a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 ≠ ∅))
87rexlimivv 3199 . . . . . 6 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 ≠ ∅)
98adantl 481 . . . . 5 ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑝 ≠ ∅)
109pm4.71ri 560 . . . 4 ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ≠ ∅ ∧ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
11 ancom 460 . . . . . 6 ((𝑝 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅))
1211anbi1i 624 . . . . 5 (((𝑝 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
13 anass 468 . . . . 5 (((𝑝 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ≠ ∅ ∧ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
14 eldifsn 4791 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅))
1514bicomi 224 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅) ↔ 𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
1615anbi1i 624 . . . . 5 (((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
1712, 13, 163bitr3i 301 . . . 4 ((𝑝 ≠ ∅ ∧ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
1810, 17bitri 275 . . 3 ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
1918rabbia2 3436 . 2 {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} = {𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}
201, 19eqtrdi 2791 1 (𝑉𝑊 → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  {crab 3433  cdif 3960  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  {cpr 4633  cfv 6563  Pairscspr 47402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-spr 47403
This theorem is referenced by:  sprvalpwle2  47414
  Copyright terms: Public domain W3C validator