Theorem sprvalpwn0 48053

Description: The set of all unordered pairs over a given set 𝑉, expressed by a restricted class abstraction. (Contributed by AV, 21-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sprvalpwn0	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝   𝑊,𝑎,𝑏,𝑝

Proof of Theorem sprvalpwn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprvalpw 48050	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
2		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
3		vex 3457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑎 ∈ V
4	3	prnz 4735	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑎, 𝑏} ≠ ∅
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → {𝑎, 𝑏} ≠ ∅)
6	2, 5	eqnetrd 3023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 ≠ ∅)
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 ≠ ∅))
8	7	rexlimivv 3203	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 ≠ ∅)
9	8	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑝 ≠ ∅)
10	9	pm4.71ri 568	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ≠ ∅ ∧ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
11		ancom 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑝 ≠ ∅))
12	11	anbi1i 633	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑝 ≠ ∅) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
13		anass 472	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ≠ ∅ ∧ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
14		eldifsn 4745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑝 ≠ ∅))
15	14	bicomi 226	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑝 ≠ ∅) ↔ 𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
16	15	anbi1i 633	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑝 ≠ ∅) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
17	12, 13, 16	3bitr3i 303	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ≠ ∅ ∧ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
18	10, 17	bitri 277	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
19	18	rabbia2 3416	. 2 ⊢ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} = {𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}
20	1, 19	eqtrdi 2812	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085  {crab 3413   ∖ cdif 3901  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {csn 4581  {cpr 4583  ‘cfv 6517  Pairscspr 48047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fv 6525  df-spr 48048

This theorem is referenced by:  sprvalpwle2  48059