Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sprvalpwn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sprvalpwn0 42573
 Description: The set of all unordered pairs over a given set 𝑉, expressed by a restricted class abstraction. (Contributed by AV, 21-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
sprvalpwn0 (𝑉𝑊 → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝   𝑊,𝑎,𝑏,𝑝

Proof of Theorem sprvalpwn0
StepHypRef Expression
1 sprvalpw 42570 . 2 (𝑉𝑊 → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
2 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
3 vex 3417 . . . . . . . . . . 11 𝑎 ∈ V
43prnz 4529 . . . . . . . . . 10 {𝑎, 𝑏} ≠ ∅
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → {𝑎, 𝑏} ≠ ∅)
62, 5eqnetrd 3066 . . . . . . . 8 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 ≠ ∅)
76a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 ≠ ∅))
87rexlimivv 3246 . . . . . 6 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 ≠ ∅)
98adantl 475 . . . . 5 ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑝 ≠ ∅)
109pm4.71ri 556 . . . 4 ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ≠ ∅ ∧ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
11 ancom 454 . . . . . 6 ((𝑝 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅))
1211anbi1i 617 . . . . 5 (((𝑝 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
13 anass 462 . . . . 5 (((𝑝 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ≠ ∅ ∧ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
14 eldifsn 4536 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅))
1514bicomi 216 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅) ↔ 𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
1615anbi1i 617 . . . . 5 (((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
1712, 13, 163bitr3i 293 . . . 4 ((𝑝 ≠ ∅ ∧ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
1810, 17bitri 267 . . 3 ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
1918rabbia2 3400 . 2 {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} = {𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}
201, 19syl6eq 2877 1 (𝑉𝑊 → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∃wrex 3118  {crab 3121   ∖ cdif 3795  ∅c0 4144  𝒫 cpw 4378  {csn 4397  {cpr 4399  ‘cfv 6123  Pairscspr 42567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pr 5127  ax-un 7209 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-spr 42568 This theorem is referenced by:  sprvalpwle2  42579
 Copyright terms: Public domain W3C validator