Theorem sprvalpwn0 48658

Description: The set of all unordered pairs over a given set 𝑉, expressed by a restricted class abstraction. (Contributed by AV, 21-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sprvalpwn0	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝   𝑊,𝑎,𝑏,𝑝

Proof of Theorem sprvalpwn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprvalpw 48655	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
2		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
3		vex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑎 ∈ V
4	3	prnz 4734	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑎, 𝑏} ≠ ∅
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → {𝑎, 𝑏} ≠ ∅)
6	2, 5	eqnetrd 3022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 ≠ ∅)
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 ≠ ∅))
8	7	rexlimivv 3204	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 ≠ ∅)
9	8	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑝 ≠ ∅)
10	9	pm4.71ri 570	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ≠ ∅ ∧ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
11		ancom 466	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑝 ≠ ∅))
12	11	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑝 ≠ ∅) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
13		anass 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ≠ ∅ ∧ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
14		eldifsn 4744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑝 ≠ ∅))
15	14	bicomi 227	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑝 ≠ ∅) ↔ 𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
16	15	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑝 ≠ ∅) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
17	12, 13, 16	3bitr3i 304	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ≠ ∅ ∧ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
18	10, 17	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
19	18	rabbia2 3415	. 2 ⊢ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} = {𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}
20	1, 19	eqtrdi 2811	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584  {cpr 4586  ‘cfv 6538  Pairscspr 48652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-spr 48653

This theorem is used by:  sprvalpwle2  48664