Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sprvalpwn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sprvalpwn0 46449
Description: The set of all unordered pairs over a given set 𝑉, expressed by a restricted class abstraction. (Contributed by AV, 21-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
sprvalpwn0 (𝑉𝑊 → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝   𝑊,𝑎,𝑏,𝑝

Proof of Theorem sprvalpwn0
StepHypRef Expression
1 sprvalpw 46446 . 2 (𝑉𝑊 → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
2 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
3 vex 3476 . . . . . . . . . . 11 𝑎 ∈ V
43prnz 4780 . . . . . . . . . 10 {𝑎, 𝑏} ≠ ∅
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → {𝑎, 𝑏} ≠ ∅)
62, 5eqnetrd 3006 . . . . . . . 8 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 ≠ ∅)
76a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 ≠ ∅))
87rexlimivv 3197 . . . . . 6 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 ≠ ∅)
98adantl 480 . . . . 5 ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑝 ≠ ∅)
109pm4.71ri 559 . . . 4 ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ≠ ∅ ∧ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
11 ancom 459 . . . . . 6 ((𝑝 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅))
1211anbi1i 622 . . . . 5 (((𝑝 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
13 anass 467 . . . . 5 (((𝑝 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ≠ ∅ ∧ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
14 eldifsn 4789 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅))
1514bicomi 223 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅) ↔ 𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
1615anbi1i 622 . . . . 5 (((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
1712, 13, 163bitr3i 300 . . . 4 ((𝑝 ≠ ∅ ∧ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
1810, 17bitri 274 . . 3 ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
1918rabbia2 3433 . 2 {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} = {𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}
201, 19eqtrdi 2786 1 (𝑉𝑊 → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  wrex 3068  {crab 3430  cdif 3944  c0 4321  𝒫 cpw 4601  {csn 4627  {cpr 4629  cfv 6542  Pairscspr 46443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-spr 46444
This theorem is referenced by:  sprvalpwle2  46455
  Copyright terms: Public domain W3C validator