Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sprvalpwn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sprvalpwn0 47470
Description: The set of all unordered pairs over a given set 𝑉, expressed by a restricted class abstraction. (Contributed by AV, 21-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
sprvalpwn0 (𝑉𝑊 → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝   𝑊,𝑎,𝑏,𝑝

Proof of Theorem sprvalpwn0
StepHypRef Expression
1 sprvalpw 47467 . 2 (𝑉𝑊 → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
2 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
3 vex 3484 . . . . . . . . . . 11 𝑎 ∈ V
43prnz 4777 . . . . . . . . . 10 {𝑎, 𝑏} ≠ ∅
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → {𝑎, 𝑏} ≠ ∅)
62, 5eqnetrd 3008 . . . . . . . 8 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 ≠ ∅)
76a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 ≠ ∅))
87rexlimivv 3201 . . . . . 6 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → 𝑝 ≠ ∅)
98adantl 481 . . . . 5 ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑝 ≠ ∅)
109pm4.71ri 560 . . . 4 ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ≠ ∅ ∧ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
11 ancom 460 . . . . . 6 ((𝑝 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅))
1211anbi1i 624 . . . . 5 (((𝑝 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
13 anass 468 . . . . 5 (((𝑝 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ≠ ∅ ∧ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
14 eldifsn 4786 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅))
1514bicomi 224 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅) ↔ 𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
1615anbi1i 624 . . . . 5 (((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉𝑝 ≠ ∅) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
1712, 13, 163bitr3i 301 . . . 4 ((𝑝 ≠ ∅ ∧ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
1810, 17bitri 275 . . 3 ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
1918rabbia2 3439 . 2 {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} = {𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}
201, 19eqtrdi 2793 1 (𝑉𝑊 → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  {crab 3436  cdif 3948  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  {cpr 4628  cfv 6561  Pairscspr 47464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-spr 47465
This theorem is referenced by:  sprvalpwle2  47476
  Copyright terms: Public domain W3C validator