Theorem t1sep 22521

Description: Any two distinct points in a T₁ space are separated by an open set. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
t1sep.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
t1sep	⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ∃𝑜 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝑜))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑜   𝐵,𝑜   𝑜,𝐽   𝑜,𝑋

Proof of Theorem t1sep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr3 1195	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		t1sep.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	t1sep2 22520	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑜 → 𝐵 ∈ 𝑜) → 𝐴 = 𝐵))
4	3	3adant3r3 1183	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑜 → 𝐵 ∈ 𝑜) → 𝐴 = 𝐵))
5	4	necon3ad 2956	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑜 → 𝐵 ∈ 𝑜)))
6	1, 5	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ¬ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑜 → 𝐵 ∈ 𝑜))
7		rexanali 3192	. 2 ⊢ (∃𝑜 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝑜) ↔ ¬ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑜 → 𝐵 ∈ 𝑜))
8	6, 7	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ∃𝑜 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝑜))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  ∪ cuni 4839  Frect1 22458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-topgen 17154  df-top 22043  df-topon 22060  df-cld 22170  df-t1 22465

This theorem is referenced by: (None)