Theorem sncld 23327

Description: A singleton is closed in a Hausdorff space. (Contributed by NM, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
t1sep.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
sncld	⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑃} ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem sncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 23308	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2		t1sep.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	t1sncld 23282	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑃} ∈ (Clsd‘𝐽))
4	1, 3	sylan 581	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑃} ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4582  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6500  Clsdccld 22972  Frect1 23263  Hauscha 23264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-topgen 17375  df-top 22850  df-topon 22867  df-cld 22975  df-t1 23270  df-haus 23271

This theorem is referenced by:  tgphaus  24073  cnn0opn  24743  csscld  25217  clsocv  25218  abelth  26419  readvrec2  42731  sncldre  45404  dirkercncflem2  46462