Theorem sncld 23264

Description: A singleton is closed in a Hausdorff space. (Contributed by NM, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
t1sep.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
sncld	⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑃} ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem sncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 23245	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2		t1sep.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	t1sncld 23219	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑃} ∈ (Clsd‘𝐽))
4	1, 3	sylan 580	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑃} ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4597  ∪ cuni 4879  ‘cfv 6519  Clsdccld 22909  Frect1 23200  Hauscha 23201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rab 3412  df-v 3457  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5541  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fv 6527  df-topgen 17412  df-top 22787  df-topon 22804  df-cld 22912  df-t1 23207  df-haus 23208

This theorem is referenced by:  tgphaus  24010  cnn0opn  24681  csscld  25156  clsocv  25157  abelth  26358  readvrec2  42341  sncldre  45010  dirkercncflem2  46075