Theorem sncld 23268

Description: A singleton is closed in a Hausdorff space. (Contributed by NM, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
t1sep.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
sncld	⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑃} ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem sncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 23249	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2		t1sep.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	t1sncld 23223	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑃} ∈ (Clsd‘𝐽))
4	1, 3	sylan 579	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → {𝑃} ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4624  ∪ cuni 4903  ‘cfv 6542  Clsdccld 22913  Frect1 23204  Hauscha 23205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-topgen 17418  df-top 22789  df-topon 22806  df-cld 22916  df-t1 23211  df-haus 23212

This theorem is referenced by:  tgphaus  24014  csscld  25170  clsocv  25171  dvrec  25880  dvexp3  25903  abelth  26371  dvtanlem  37131  sncldre  44378  dirkercncflem2  45464