Theorem tgss3 23214

Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80 using abbreviations. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgss3	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) ↔ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))

Proof of Theorem tgss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bastg 23194	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
3		sstr2 3938	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))
5		fvex 6892	. . . 4 ⊢ (topGen‘𝐶) ∈ V
6		tgss 23196	. . . 4 ⊢ (((topGen‘𝐶) ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶)))
7	5, 6	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶)))
8		tgidm 23208	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → (topGen‘(topGen‘𝐶)) = (topGen‘𝐶))
9	8	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (topGen‘(topGen‘𝐶)) = (topGen‘𝐶))
10	9	sseq2d 3963	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐶)) ↔ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶)))
11	7, 10	imbitrid 247	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶)))
12	4, 11	impbid 215	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ((topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶) ↔ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6533  topGenctg 17525

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-topgen 17531

This theorem is used by:  tgss2  23215  2basgen  23218  isfne4b  36963