Theorem tgss 22906

Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
tgss	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))

Proof of Theorem tgss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrin 4217	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥))
2	1	unissd 4893	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥))
3		sstr2 3965	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → (∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
4	2, 3	syl5com 31	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
6		ssexg 5293	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ V)
7	6	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐵 ∈ V)
8		eltg 22895	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
10		eltg 22895	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐶) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐶) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
12	5, 9, 11	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐶)))
13	12	ssrdv 3964	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575  ∪ cuni 4883  ‘cfv 6531  topGenctg 17451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-topgen 17457

This theorem is referenced by:  tgidm  22918  tgss3  22924  basgen  22926  2basgen  22928  tgfiss  22929  bastop1  22931  lecldbas  23157  txss12  23543  xrtgioo  24746