MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgss 22795
Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
tgss ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ))

Proof of Theorem tgss
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrin 4226 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† 𝐢 β†’ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) βŠ† (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯))
21unissd 4910 . . . . 5 (𝐡 βŠ† 𝐢 β†’ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯))
3 sstr2 3982 . . . . 5 (π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) β†’ (βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯)))
42, 3syl5com 31 . . . 4 (𝐡 βŠ† 𝐢 β†’ (π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯)))
54adantl 481 . . 3 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ (π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯)))
6 ssexg 5314 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ V)
76ancoms 458 . . . 4 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ 𝐡 ∈ V)
8 eltg 22784 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
10 eltg 22784 . . . 4 (𝐢 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜πΆ) ↔ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯)))
1110adantr 480 . . 3 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜πΆ) ↔ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯)))
125, 9, 113imtr4d 294 . 2 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜πΆ)))
1312ssrdv 3981 1 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  π’« cpw 4595  βˆͺ cuni 4900  β€˜cfv 6534  topGenctg 17384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fv 6542  df-topgen 17390
This theorem is referenced by:  tgidm  22807  tgss3  22813  basgen  22815  2basgen  22817  tgfiss  22818  bastop1  22820  lecldbas  23047  txss12  23433  xrtgioo  24646
  Copyright terms: Public domain W3C validator