MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgss 21579
Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
tgss ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))

Proof of Theorem tgss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrin 4196 . . . . . 6 (𝐵𝐶 → (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥))
21unissd 4835 . . . . 5 (𝐵𝐶 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥))
3 sstr2 3961 . . . . 5 (𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → ( (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
42, 3syl5com 31 . . . 4 (𝐵𝐶 → (𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
54adantl 485 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
6 ssexg 5214 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐶𝑉) → 𝐵 ∈ V)
76ancoms 462 . . . 4 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ V)
8 eltg 21568 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
10 eltg 21568 . . . 4 (𝐶𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐶) ↔ 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
1110adantr 484 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐶) ↔ 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
125, 9, 113imtr4d 297 . 2 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐶)))
1312ssrdv 3960 1 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2115  Vcvv 3481  cin 3919  wss 3920  𝒫 cpw 4523   cuni 4825  cfv 6344  topGenctg 16714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fv 6352  df-topgen 16720
This theorem is referenced by:  tgidm  21591  tgss3  21597  basgen  21599  2basgen  21601  tgfiss  21602  bastop1  21604  lecldbas  21830  txss12  22216  xrtgioo  23417
  Copyright terms: Public domain W3C validator