MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgss 22334
Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
tgss ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ))

Proof of Theorem tgss
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrin 4194 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† 𝐢 β†’ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) βŠ† (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯))
21unissd 4876 . . . . 5 (𝐡 βŠ† 𝐢 β†’ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯))
3 sstr2 3952 . . . . 5 (π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) β†’ (βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯)))
42, 3syl5com 31 . . . 4 (𝐡 βŠ† 𝐢 β†’ (π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯)))
54adantl 483 . . 3 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ (π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯)))
6 ssexg 5281 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ V)
76ancoms 460 . . . 4 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ 𝐡 ∈ V)
8 eltg 22323 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
10 eltg 22323 . . . 4 (𝐢 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜πΆ) ↔ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯)))
1110adantr 482 . . 3 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜πΆ) ↔ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯)))
125, 9, 113imtr4d 294 . 2 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜πΆ)))
1312ssrdv 3951 1 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  βˆͺ cuni 4866  β€˜cfv 6497  topGenctg 17324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-topgen 17330
This theorem is referenced by:  tgidm  22346  tgss3  22352  basgen  22354  2basgen  22356  tgfiss  22357  bastop1  22359  lecldbas  22586  txss12  22972  xrtgioo  24185
  Copyright terms: Public domain W3C validator