MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgss 22975
Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
tgss ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))

Proof of Theorem tgss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrin 4242 . . . . . 6 (𝐵𝐶 → (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥))
21unissd 4917 . . . . 5 (𝐵𝐶 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥))
3 sstr2 3990 . . . . 5 (𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → ( (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
42, 3syl5com 31 . . . 4 (𝐵𝐶 → (𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
54adantl 481 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
6 ssexg 5323 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐶𝑉) → 𝐵 ∈ V)
76ancoms 458 . . . 4 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ V)
8 eltg 22964 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
10 eltg 22964 . . . 4 (𝐶𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐶) ↔ 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
1110adantr 480 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐶) ↔ 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
125, 9, 113imtr4d 294 . 2 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐶)))
1312ssrdv 3989 1 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600   cuni 4907  cfv 6561  topGenctg 17482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-topgen 17488
This theorem is referenced by:  tgidm  22987  tgss3  22993  basgen  22995  2basgen  22997  tgfiss  22998  bastop1  23000  lecldbas  23227  txss12  23613  xrtgioo  24828
  Copyright terms: Public domain W3C validator