Theorem tgss 22903

Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
tgss	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))

Proof of Theorem tgss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrin 4191	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥))
2	1	unissd 4870	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥))
3		sstr2 3937	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → (∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
4	2, 3	syl5com 31	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
6		ssexg 5265	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ V)
7	6	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐵 ∈ V)
8		eltg 22892	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
10		eltg 22892	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐶) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐶) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
12	5, 9, 11	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐶)))
13	12	ssrdv 3936	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4551  ∪ cuni 4860  ‘cfv 6489  topGenctg 17348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fv 6497  df-topgen 17354

This theorem is referenced by:  tgidm  22915  tgss3  22921  basgen  22923  2basgen  22925  tgfiss  22926  bastop1  22928  lecldbas  23154  txss12  23540  xrtgioo  24742