MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgss 22991
Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
tgss ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))

Proof of Theorem tgss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrin 4250 . . . . . 6 (𝐵𝐶 → (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥))
21unissd 4922 . . . . 5 (𝐵𝐶 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥))
3 sstr2 4002 . . . . 5 (𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → ( (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
42, 3syl5com 31 . . . 4 (𝐵𝐶 → (𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
54adantl 481 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
6 ssexg 5329 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐶𝑉) → 𝐵 ∈ V)
76ancoms 458 . . . 4 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ V)
8 eltg 22980 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
10 eltg 22980 . . . 4 (𝐶𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐶) ↔ 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
1110adantr 480 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐶) ↔ 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
125, 9, 113imtr4d 294 . 2 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐶)))
1312ssrdv 4001 1 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605   cuni 4912  cfv 6563  topGenctg 17484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-topgen 17490
This theorem is referenced by:  tgidm  23003  tgss3  23009  basgen  23011  2basgen  23013  tgfiss  23014  bastop1  23016  lecldbas  23243  txss12  23629  xrtgioo  24842
  Copyright terms: Public domain W3C validator