MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgss 22864
Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
tgss ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ))

Proof of Theorem tgss
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrin 4229 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† 𝐢 β†’ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) βŠ† (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯))
21unissd 4913 . . . . 5 (𝐡 βŠ† 𝐢 β†’ βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯))
3 sstr2 3985 . . . . 5 (π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) β†’ (βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯)))
42, 3syl5com 31 . . . 4 (𝐡 βŠ† 𝐢 β†’ (π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯)))
54adantl 481 . . 3 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ (π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯)))
6 ssexg 5317 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† 𝐢 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ V)
76ancoms 458 . . . 4 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ 𝐡 ∈ V)
8 eltg 22853 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
10 eltg 22853 . . . 4 (𝐢 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜πΆ) ↔ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯)))
1110adantr 480 . . 3 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜πΆ) ↔ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐢 ∩ 𝒫 π‘₯)))
125, 9, 113imtr4d 294 . 2 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜πΆ)))
1312ssrdv 3984 1 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐢) β†’ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470   ∩ cin 3944   βŠ† wss 3945  π’« cpw 4598  βˆͺ cuni 4903  β€˜cfv 6542  topGenctg 17412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-topgen 17418
This theorem is referenced by:  tgidm  22876  tgss3  22882  basgen  22884  2basgen  22886  tgfiss  22887  bastop1  22889  lecldbas  23116  txss12  23502  xrtgioo  24715
  Copyright terms: Public domain W3C validator