MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2basgen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2basgen 21123
Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
2basgen ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = (topGen‘𝐶))

Proof of Theorem 2basgen
StepHypRef Expression
1 fvex 6424 . . . . 5 (topGen‘𝐵) ∈ V
21ssex 4997 . . . 4 (𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝐶 ∈ V)
32adantl 474 . . 3 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐶 ∈ V)
4 simpl 475 . . 3 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵𝐶)
5 tgss 21101 . . 3 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
63, 4, 5syl2anc 580 . 2 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
7 simpr 478 . . 3 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵))
8 ssexg 4999 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐶 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
92, 8sylan2 587 . . . 4 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
10 tgss3 21119 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)))
113, 9, 10syl2anc 580 . . 3 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ((topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)))
127, 11mpbird 249 . 2 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵))
136, 12eqssd 3815 1 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = (topGen‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385  wss 3769  cfv 6101  topGenctg 16413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fv 6109  df-topgen 16419
This theorem is referenced by:  leordtval2  21345  2ndcsb  21581  txbasval  21738  prdsxmslem2  22662  tgioo  22927  tgqioo  22931
  Copyright terms: Public domain W3C validator