Theorem 2basgen 23128

Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2basgen	⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = (topGen‘𝐶))

Proof of Theorem 2basgen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6896	. . . 4 ⊢ (topGen‘𝐵) ∈ V
2	1	ssex 5292	. . 3 ⊢ (𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝐶 ∈ V)
3		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4		tgss 23106	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
5	2, 3, 4	syl2an2 698	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
6		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵))
7		ssexg 5291	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
8	2, 7	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
9		tgss3 23124	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)))
10	2, 8, 9	syl2an2 698	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ((topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)))
11	6, 10	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵))
12	5, 11	eqssd 3955	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = (topGen‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6538  topGenctg 17491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-topgen 17497

This theorem is referenced by:  leordtval2  23350  2ndcsb  23587  txbasval  23744  prdsxmslem2  24667  tgioo  24934  tgqioo  24938