Theorem 2basgen 22484

Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2basgen	⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = (topGen‘𝐶))

Proof of Theorem 2basgen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6901	. . . 4 ⊢ (topGen‘𝐵) ∈ V
2	1	ssex 5320	. . 3 ⊢ (𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝐶 ∈ V)
3		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4		tgss 22462	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
5	2, 3, 4	syl2an2 684	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
6		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵))
7		ssexg 5322	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
8	2, 7	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
9		tgss3 22480	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)))
10	2, 8, 9	syl2an2 684	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ((topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)))
11	6, 10	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵))
12	5, 11	eqssd 3998	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = (topGen‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6540  topGenctg 17379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-topgen 17385

This theorem is referenced by:  leordtval2  22707  2ndcsb  22944  txbasval  23101  prdsxmslem2  24029  tgioo  24303  tgqioo  24307