Theorem 2basgen 22965

Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2basgen	⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = (topGen‘𝐶))

Proof of Theorem 2basgen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6847	. . . 4 ⊢ (topGen‘𝐵) ∈ V
2	1	ssex 5258	. . 3 ⊢ (𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝐶 ∈ V)
3		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4		tgss 22943	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
5	2, 3, 4	syl2an2 687	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵))
7		ssexg 5260	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
8	2, 7	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
9		tgss3 22961	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)))
10	2, 8, 9	syl2an2 687	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ((topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)))
11	6, 10	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵))
12	5, 11	eqssd 3940	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = (topGen‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  topGenctg 17391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-topgen 17397

This theorem is referenced by:  leordtval2  23187  2ndcsb  23424  txbasval  23581  prdsxmslem2  24504  tgioo  24771  tgqioo  24775