MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2basgen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2basgen 22356
Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
2basgen ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = (topGen‘𝐶))

Proof of Theorem 2basgen
StepHypRef Expression
1 fvex 6856 . . . 4 (topGen‘𝐵) ∈ V
21ssex 5279 . . 3 (𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝐶 ∈ V)
3 simpl 484 . . 3 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵𝐶)
4 tgss 22334 . . 3 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
52, 3, 4syl2an2 685 . 2 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
6 simpr 486 . . 3 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵))
7 ssexg 5281 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐶 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
82, 7sylan2 594 . . . 4 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
9 tgss3 22352 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)))
102, 8, 9syl2an2 685 . . 3 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ((topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)))
116, 10mpbird 257 . 2 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵))
125, 11eqssd 3962 1 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = (topGen‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  wss 3911  cfv 6497  topGenctg 17324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-topgen 17330
This theorem is referenced by:  leordtval2  22579  2ndcsb  22816  txbasval  22973  prdsxmslem2  23901  tgioo  24175  tgqioo  24179
  Copyright terms: Public domain W3C validator