Theorem tposexg 8224

Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposexg	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → tpos 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem tposexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposssxp 8214	. 2 ⊢ tpos 𝐹 ⊆ ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹)
2		dmexg 7893	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
3		cnvexg 7914	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 ∈ V → ◡dom 𝐹 ∈ V)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ◡dom 𝐹 ∈ V)
5		p0ex 5382	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
6		unexg 7735	. . . 4 ⊢ ((◡dom 𝐹 ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∈ V)
7	4, 5, 6	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∈ V)
8		rnexg 7894	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
9	7, 8	xpexd 7737	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∈ V)
10		ssexg 5323	. 2 ⊢ ((tpos 𝐹 ⊆ ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∧ ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∈ V) → tpos 𝐹 ∈ V)
11	1, 9, 10	sylancr 587	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → tpos 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628   × cxp 5674  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677  tpos ctpos 8209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-tpos 8210

This theorem is referenced by:  tposex  8244  oftpos  21953