Theorem tposexg 8170

Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposexg	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → tpos 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem tposexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposssxp 8160	. 2 ⊢ tpos 𝐹 ⊆ ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹)
2		dmexg 7831	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
3		cnvexg 7854	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 ∈ V → ◡dom 𝐹 ∈ V)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ◡dom 𝐹 ∈ V)
5		p0ex 5322	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
6		unexg 7676	. . . 4 ⊢ ((◡dom 𝐹 ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∈ V)
7	4, 5, 6	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∈ V)
8		rnexg 7832	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
9	7, 8	xpexd 7684	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∈ V)
10		ssexg 5261	. 2 ⊢ ((tpos 𝐹 ⊆ ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∧ ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∈ V) → tpos 𝐹 ∈ V)
11	1, 9, 10	sylancr 587	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → tpos 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  {csn 4576   × cxp 5614  ^◡ccnv 5615  dom cdm 5616  ran crn 5617  tpos ctpos 8155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-tpos 8156

This theorem is referenced by:  tposex  8190  oftpos  22365  oppf1st2nd  49162