Theorem tposexg 8223

Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposexg	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → tpos 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem tposexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposssxp 8213	. 2 ⊢ tpos 𝐹 ⊆ ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹)
2		dmexg 7890	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
3		cnvexg 7911	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 ∈ V → ◡dom 𝐹 ∈ V)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ◡dom 𝐹 ∈ V)
5		p0ex 5375	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
6		unexg 7732	. . . 4 ⊢ ((◡dom 𝐹 ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∈ V)
7	4, 5, 6	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∈ V)
8		rnexg 7891	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
9	7, 8	xpexd 7734	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∈ V)
10		ssexg 5316	. 2 ⊢ ((tpos 𝐹 ⊆ ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∧ ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∈ V) → tpos 𝐹 ∈ V)
11	1, 9, 10	sylancr 586	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → tpos 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∪ cun 3941   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  {csn 4623   × cxp 5667  ^◡ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670  tpos ctpos 8208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-tpos 8209

This theorem is referenced by:  tposex  8243  oftpos  22305