Theorem tposexg 8220

Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposexg	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → tpos 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem tposexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposssxp 8210	. 2 ⊢ tpos 𝐹 ⊆ ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹)
2		dmexg 7889	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
3		cnvexg 7910	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 ∈ V → ◡dom 𝐹 ∈ V)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ◡dom 𝐹 ∈ V)
5		p0ex 5381	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
6		unexg 7731	. . . 4 ⊢ ((◡dom 𝐹 ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∈ V)
7	4, 5, 6	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∈ V)
8		rnexg 7890	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
9	7, 8	xpexd 7733	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∈ V)
10		ssexg 5322	. 2 ⊢ ((tpos 𝐹 ⊆ ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∧ ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∈ V) → tpos 𝐹 ∈ V)
11	1, 9, 10	sylancr 588	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → tpos 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  {csn 4627   × cxp 5673  ^◡ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676  tpos ctpos 8205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-tpos 8206

This theorem is referenced by:  tposex  8240  oftpos  21936