Theorem tposexg 8190

Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposexg	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → tpos 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem tposexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposssxp 8180	. 2 ⊢ tpos 𝐹 ⊆ ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹)
2		dmexg 7852	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
3		cnvexg 7875	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 ∈ V → ◡dom 𝐹 ∈ V)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ◡dom 𝐹 ∈ V)
5		p0ex 5326	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
6		unexg 7697	. . . 4 ⊢ ((◡dom 𝐹 ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∈ V)
7	4, 5, 6	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∈ V)
8		rnexg 7853	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
9	7, 8	xpexd 7705	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∈ V)
10		ssexg 5264	. 2 ⊢ ((tpos 𝐹 ⊆ ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∧ ((◡dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∈ V) → tpos 𝐹 ∈ V)
11	1, 9, 10	sylancr 588	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → tpos 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∪ cun 3887   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  {csn 4567   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632  tpos ctpos 8175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-tpos 8176

This theorem is referenced by:  tposex  8210  oftpos  22417  oppf1st2nd  49606