Theorem tpostpos2 8245

Description: Value of the double transposition for a relation on triples. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpostpos2	⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → tpos tpos 𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem tpostpos2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpostpos 8244	. 2 ⊢ tpos tpos 𝐹 = (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
2		relrelss 6277	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) ↔ 𝐹 ⊆ ((V × V) × V))
3		ssun1 4131	. . . . . 6 ⊢ (V × V) ⊆ ((V × V) ∪ {∅})
4		xpss1 5682	. . . . . 6 ⊢ ((V × V) ⊆ ((V × V) ∪ {∅}) → ((V × V) × V) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((V × V) × V) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V)
6		sstr 3946	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⊆ ((V × V) × V) ∧ ((V × V) × V) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) → 𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
7	5, 6	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ ((V × V) × V) → 𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
8	2, 7	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → 𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
9		dfss2 3924	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V) ↔ (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) = 𝐹)
10	8, 9	sylib 221	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) = 𝐹)
11	1, 10	eqtrid 2812	1 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → tpos tpos 𝐹 = 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Vcvv 3457   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  {csn 4591   × cxp 5661  dom cdm 5663  Rel wrel 5668  tpos ctpos 8223

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-fv 6548  df-tpos 8224

This theorem is used by:  2oppchomf  17798  mattpostpos  22641  opprabs  33804  2oppf  49943  funcoppc4  49955  funcoppc3  49958  uptposlem  50008