MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tpostpos2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tpostpos2 8229
Description: Value of the double transposition for a relation on triples. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tpostpos2 ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → tpos tpos 𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem tpostpos2
StepHypRef Expression
1 tpostpos 8228 . 2 tpos tpos 𝐹 = (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
2 relrelss 6270 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) ↔ 𝐹 ⊆ ((V × V) × V))
3 ssun1 4172 . . . . . 6 (V × V) ⊆ ((V × V) ∪ {∅})
4 xpss1 5695 . . . . . 6 ((V × V) ⊆ ((V × V) ∪ {∅}) → ((V × V) × V) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 ((V × V) × V) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V)
6 sstr 3990 . . . . 5 ((𝐹 ⊆ ((V × V) × V) ∧ ((V × V) × V) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) → 𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
75, 6mpan2 690 . . . 4 (𝐹 ⊆ ((V × V) × V) → 𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
82, 7sylbi 216 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → 𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
9 df-ss 3965 . . 3 (𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V) ↔ (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) = 𝐹)
108, 9sylib 217 . 2 ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) = 𝐹)
111, 10eqtrid 2785 1 ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → tpos tpos 𝐹 = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  Vcvv 3475  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  {csn 4628   × cxp 5674  dom cdm 5676  Rel wrel 5681  tpos ctpos 8207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-fv 6549  df-tpos 8208
This theorem is referenced by:  2oppchomf  17667  mattpostpos  21948  opprabs  32585
  Copyright terms: Public domain W3C validator