Theorem tpostpos2 8239

Description: Value of the double transposition for a relation on triples. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpostpos2	⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → tpos tpos 𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem tpostpos2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpostpos 8238	. 2 ⊢ tpos tpos 𝐹 = (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
2		relrelss 6272	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) ↔ 𝐹 ⊆ ((V × V) × V))
3		ssun1 4139	. . . . . 6 ⊢ (V × V) ⊆ ((V × V) ∪ {∅})
4		xpss1 5678	. . . . . 6 ⊢ ((V × V) ⊆ ((V × V) ∪ {∅}) → ((V × V) × V) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((V × V) × V) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V)
6		sstr 3953	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⊆ ((V × V) × V) ∧ ((V × V) × V) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) → 𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
7	5, 6	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ ((V × V) × V) → 𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
8	2, 7	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → 𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
9		dfss2 3931	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V) ↔ (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) = 𝐹)
10	8, 9	sylib 221	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) = 𝐹)
11	1, 10	eqtrid 2816	1 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Rel dom 𝐹) → tpos tpos 𝐹 = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  Vcvv 3463   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {csn 4591   × cxp 5657  dom cdm 5659  Rel wrel 5664  tpos ctpos 8217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-fv 6542  df-tpos 8218

This theorem is referenced by:  2oppchomf  17776  mattpostpos  22576  opprabs  33705  2oppf  49790  funcoppc4  49802  funcoppc3  49805  uptposlem  49855