Theorem mattpostpos 21323

Description: The transpose of the transpose of a square matrix is the square matrix itself. (Contributed by SO, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mattposcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mattposcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mattpostpos	⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → tpos tpos 𝑀 = 𝑀)

Proof of Theorem mattpostpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mattposcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		mattposcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 2, 3	matbas2i 21291	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
5		elmapi 8519	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
7		frel 6539	. . 3 ⊢ (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → Rel 𝑀)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → Rel 𝑀)
9		relxp 5558	. . 3 ⊢ Rel (𝑁 × 𝑁)
10	6	fdmd 6545	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → dom 𝑀 = (𝑁 × 𝑁))
11	10	releqd 5639	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (Rel dom 𝑀 ↔ Rel (𝑁 × 𝑁)))
12	9, 11	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → Rel dom 𝑀)
13		tpostpos2 7978	. 2 ⊢ ((Rel 𝑀 ∧ Rel dom 𝑀) → tpos tpos 𝑀 = 𝑀)
14	8, 12, 13	syl2anc 587	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → tpos tpos 𝑀 = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   × cxp 5538  dom cdm 5540  Rel wrel 5545  ⟶wf 6365  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  tpos ctpos 7956   ↑_m cmap 8497  Basecbs 16684   Mat cmat 21276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-ot 4540  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-supp 7893  df-tpos 7957  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-er 8380  df-map 8499  df-ixp 8568  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-fsupp 8975  df-sup 9047  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-7 11881  df-8 11882  df-9 11883  df-n0 12074  df-z 12160  df-dec 12277  df-uz 12422  df-fz 13079  df-struct 16686  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-sets 16691  df-ress 16692  df-plusg 16780  df-mulr 16781  df-sca 16783  df-vsca 16784  df-ip 16785  df-tset 16786  df-ple 16787  df-ds 16789  df-hom 16791  df-cco 16792  df-0g 16918  df-prds 16924  df-pws 16926  df-sra 20181  df-rgmod 20182  df-dsmm 20666  df-frlm 20681  df-mat 21277

This theorem is referenced by:  madulid  21514