Theorem 2oppchomf 17625

Description: The double opposite category has the same morphisms as the original category. Intended for use with property lemmas such as monpropd 17639. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppcbas.1	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
2oppchomf	⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))

Proof of Theorem 2oppchomf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3	1, 2	homffn 17594	. . . 4 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
4		fnrel 6578	. . . 4 ⊢ ((Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → Rel (Homf ‘𝐶))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel (Homf ‘𝐶)
6		relxp 5629	. . . 4 ⊢ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
7	3	fndmi 6580	. . . . 5 ⊢ dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
8	7	releqi 5713	. . . 4 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
9	6, 8	mpbir 231	. . 3 ⊢ Rel dom (Homf ‘𝐶)
10		tpostpos2 8172	. . 3 ⊢ ((Rel (Homf ‘𝐶) ∧ Rel dom (Homf ‘𝐶)) → tpos tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶))
11	5, 9, 10	mp2an 692	. 2 ⊢ tpos tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
12		eqid 2731	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
13		oppcbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
14	13, 1	oppchomf 17621	. . 3 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
15	12, 14	oppchomf 17621	. 2 ⊢ tpos tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
16	11, 15	eqtr3i 2756	1 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))

Syntax hints:   = wceq 1541   × cxp 5609  dom cdm 5611  Rel wrel 5616   Fn wfn 6471  ‘cfv 6476  tpos ctpos 8150  Basecbs 17115  Hom_f chomf 17567  oppCatcoppc 17612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-hom 17180  df-cco 17181  df-homf 17571  df-oppc 17613

This theorem is referenced by:  2oppccomf  17626  oppcepi  17641  oppchofcl  18161  oppcyon  18170  oyoncl  18171  oppccatb  49048  oppccicb  49083  funcoppc2  49175  natoppfb  49263  cmddu  49700  termolmd  49702