Theorem 2oppchomf 16993

Description: The double opposite category has the same morphisms as the original category. Intended for use with property lemmas such as monpropd 17006. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppcbas.1	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
2oppchomf	⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))

Proof of Theorem 2oppchomf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
2		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3	1, 2	homffn 16962	. . . 4 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
4		fnrel 6453	. . . 4 ⊢ ((Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → Rel (Homf ‘𝐶))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel (Homf ‘𝐶)
6		relxp 5572	. . . 4 ⊢ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
7		fndm 6454	. . . . . 6 ⊢ ((Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
8	3, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
9	8	releqi 5651	. . . 4 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
10	6, 9	mpbir 233	. . 3 ⊢ Rel dom (Homf ‘𝐶)
11		tpostpos2 7912	. . 3 ⊢ ((Rel (Homf ‘𝐶) ∧ Rel dom (Homf ‘𝐶)) → tpos tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶))
12	5, 10, 11	mp2an 690	. 2 ⊢ tpos tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
13		eqid 2821	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
14		oppcbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
15	14, 1	oppchomf 16989	. . 3 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
16	13, 15	oppchomf 16989	. 2 ⊢ tpos tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
17	12, 16	eqtr3i 2846	1 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))

Syntax hints:   = wceq 1533   × cxp 5552  dom cdm 5554  Rel wrel 5559   Fn wfn 6349  ‘cfv 6354  tpos ctpos 7890  Basecbs 16482  Hom_f chomf 16936  oppCatcoppc 16980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-tpos 7891  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-hom 16588  df-cco 16589  df-homf 16940  df-oppc 16981

This theorem is referenced by:  2oppccomf  16994  oppcepi  17008  oppchofcl  17509  oppcyon  17518  oyoncl  17519