Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2oppchomf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2oppchomf 16994
 Description: The double opposite category has the same morphisms as the original category. Intended for use with property lemmas such as monpropd 17007. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
oppcbas.1 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
2oppchomf (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))

Proof of Theorem 2oppchomf
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . . 5 (Homf𝐶) = (Homf𝐶)
2 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
31, 2homffn 16963 . . . 4 (Homf𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
4 fnrel 6442 . . . 4 ((Homf𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → Rel (Homf𝐶))
53, 4ax-mp 5 . . 3 Rel (Homf𝐶)
6 relxp 5560 . . . 4 Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
73fndmi 6444 . . . . 5 dom (Homf𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
87releqi 5639 . . . 4 (Rel dom (Homf𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
96, 8mpbir 234 . . 3 Rel dom (Homf𝐶)
10 tpostpos2 7909 . . 3 ((Rel (Homf𝐶) ∧ Rel dom (Homf𝐶)) → tpos tpos (Homf𝐶) = (Homf𝐶))
115, 9, 10mp2an 691 . 2 tpos tpos (Homf𝐶) = (Homf𝐶)
12 eqid 2824 . . 3 (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
13 oppcbas.1 . . . 4 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
1413, 1oppchomf 16990 . . 3 tpos (Homf𝐶) = (Homf𝑂)
1512, 14oppchomf 16990 . 2 tpos tpos (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
1611, 15eqtr3i 2849 1 (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   × cxp 5540  dom cdm 5542  Rel wrel 5547   Fn wfn 6338  ‘cfv 6343  tpos ctpos 7887  Basecbs 16483  Homf chomf 16937  oppCatcoppc 16981 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-hom 16589  df-cco 16590  df-homf 16941  df-oppc 16982 This theorem is referenced by:  2oppccomf  16995  oppcepi  17009  oppchofcl  17510  oppcyon  17519  oyoncl  17520
 Copyright terms: Public domain W3C validator