Theorem 2oppchomf 17690

Description: The double opposite category has the same morphisms as the original category. Intended for use with property lemmas such as monpropd 17704. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppcbas.1	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
2oppchomf	⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))

Proof of Theorem 2oppchomf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3	1, 2	homffn 17659	. . . 4 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
4		fnrel 6600	. . . 4 ⊢ ((Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → Rel (Homf ‘𝐶))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel (Homf ‘𝐶)
6		relxp 5649	. . . 4 ⊢ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
7	3	fndmi 6602	. . . . 5 ⊢ dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
8	7	releqi 5734	. . . 4 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
9	6, 8	mpbir 231	. . 3 ⊢ Rel dom (Homf ‘𝐶)
10		tpostpos2 8197	. . 3 ⊢ ((Rel (Homf ‘𝐶) ∧ Rel dom (Homf ‘𝐶)) → tpos tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶))
11	5, 9, 10	mp2an 693	. 2 ⊢ tpos tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
12		eqid 2736	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
13		oppcbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
14	13, 1	oppchomf 17686	. . 3 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
15	12, 14	oppchomf 17686	. 2 ⊢ tpos tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
16	11, 15	eqtr3i 2761	1 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))

Syntax hints:   = wceq 1542   × cxp 5629  dom cdm 5631  Rel wrel 5636   Fn wfn 6493  ‘cfv 6498  tpos ctpos 8175  Basecbs 17179  Hom_f chomf 17632  oppCatcoppc 17677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-hom 17244  df-cco 17245  df-homf 17636  df-oppc 17678

This theorem is referenced by:  2oppccomf  17691  oppcepi  17706  oppchofcl  18226  oppcyon  18235  oyoncl  18236  oppccatb  49491  oppccicb  49526  funcoppc2  49618  natoppfb  49706  cmddu  50143  termolmd  50145