Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opprabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprabs 32442
Description: The opposite ring of the opposite ring is the original ring. Note the conditions on this theorem, which makes it unpractical in case we only have e.g. 𝑅 ∈ Ring as a premise. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
opprabs.o 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
opprabs.m Β· = (.rβ€˜π‘…)
opprabs.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
opprabs.2 (πœ‘ β†’ Fun 𝑅)
opprabs.3 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜ndx) ∈ dom 𝑅)
opprabs.4 (πœ‘ β†’ Β· Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
Assertion
Ref Expression
opprabs (πœ‘ β†’ 𝑅 = (opprβ€˜π‘‚))

Proof of Theorem opprabs
StepHypRef Expression
1 opprabs.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β· Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
2 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 opprabs.m . . . . . . . . 9 Β· = (.rβ€˜π‘…)
4 opprabs.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
5 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘‚) = (.rβ€˜π‘‚)
62, 3, 4, 5opprmulfval 20104 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘‚) = tpos Β·
76tposeqi 8226 . . . . . . 7 tpos (.rβ€˜π‘‚) = tpos tpos Β·
8 fnrel 6640 . . . . . . . 8 ( Β· Fn (𝐡 Γ— 𝐡) β†’ Rel Β· )
9 relxp 5687 . . . . . . . . 9 Rel (𝐡 Γ— 𝐡)
10 fndm 6641 . . . . . . . . . 10 ( Β· Fn (𝐡 Γ— 𝐡) β†’ dom Β· = (𝐡 Γ— 𝐡))
1110releqd 5770 . . . . . . . . 9 ( Β· Fn (𝐡 Γ— 𝐡) β†’ (Rel dom Β· ↔ Rel (𝐡 Γ— 𝐡)))
129, 11mpbiri 257 . . . . . . . 8 ( Β· Fn (𝐡 Γ— 𝐡) β†’ Rel dom Β· )
13 tpostpos2 8214 . . . . . . . 8 ((Rel Β· ∧ Rel dom Β· ) β†’ tpos tpos Β· = Β· )
148, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . 7 ( Β· Fn (𝐡 Γ— 𝐡) β†’ tpos tpos Β· = Β· )
157, 14eqtrid 2783 . . . . . 6 ( Β· Fn (𝐡 Γ— 𝐡) β†’ tpos (.rβ€˜π‘‚) = Β· )
161, 15syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ tpos (.rβ€˜π‘‚) = Β· )
1716, 3eqtrdi 2787 . . . 4 (πœ‘ β†’ tpos (.rβ€˜π‘‚) = (.rβ€˜π‘…))
1817opeq2d 4873 . . 3 (πœ‘ β†’ ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘‚)⟩ = ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩)
1918oveq2d 7409 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘‚)⟩) = (𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
20 opprabs.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
214, 2opprbas 20109 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘‚)
22 eqid 2731 . . . . . 6 (opprβ€˜π‘‚) = (opprβ€˜π‘‚)
2321, 5, 22opprval 20103 . . . . 5 (opprβ€˜π‘‚) = (𝑂 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘‚)⟩)
242, 3, 4opprval 20103 . . . . . 6 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos Β· ⟩)
2524oveq1i 7403 . . . . 5 (𝑂 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘‚)⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos Β· ⟩) sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘‚)⟩)
2623, 25eqtri 2759 . . . 4 (opprβ€˜π‘‚) = ((𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos Β· ⟩) sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘‚)⟩)
27 fvex 6891 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘‚) ∈ V
2827tposex 8227 . . . . 5 tpos (.rβ€˜π‘‚) ∈ V
29 setsabs 17094 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ tpos (.rβ€˜π‘‚) ∈ V) β†’ ((𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos Β· ⟩) sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘‚)⟩) = (𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘‚)⟩))
3028, 29mpan2 689 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos Β· ⟩) sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘‚)⟩) = (𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘‚)⟩))
3126, 30eqtrid 2783 . . 3 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (opprβ€˜π‘‚) = (𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘‚)⟩))
3220, 31syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (opprβ€˜π‘‚) = (𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘‚)⟩))
33 mulridx 17221 . . 3 .r = Slot (.rβ€˜ndx)
34 opprabs.2 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝑅)
35 opprabs.3 . . 3 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜ndx) ∈ dom 𝑅)
3633, 20, 34, 35setsidvald 17114 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
3719, 32, 363eqtr4rd 2782 1 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (opprβ€˜π‘‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3473  βŸ¨cop 4628   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  Rel wrel 5674  Fun wfun 6526   Fn wfn 6527  β€˜cfv 6532  (class class class)co 7393  tpos ctpos 8192   sSet csts 17078  ndxcnx 17108  Basecbs 17126  .rcmulr 17180  opprcoppr 20101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-mulr 17193  df-oppr 20102
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator