Theorem uhgredgn0 29215

Description: An edge of a hypergraph is a nonempty subset of vertices. (Contributed by AV, 28-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgredgn0	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))

Proof of Theorem uhgredgn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgval 29136	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
2		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	uhgrf 29149	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
5	4	frnd 6663	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
6	1, 5	eqsstrid 3953	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
7	6	sselda 3915	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3880  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4529  {csn 4555  dom cdm 5618  ran crn 5619  ‘cfv 6485  Vtxcvtx 29083  iEdgciedg 29084  Edgcedg 29134  UHGraphcuhgr 29143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-edg 29135  df-uhgr 29145

This theorem is referenced by:  edguhgr  29216  uhgredgss  29218  uhgrvd00  29621  lfuhgr2  35347  loop1cycl  35365