Theorem uhgredgn0 29160

Description: An edge of a hypergraph is a nonempty subset of vertices. (Contributed by AV, 28-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgredgn0	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))

Proof of Theorem uhgredgn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgval 29081	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	uhgrf 29094	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
5	4	frnd 6745	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
6	1, 5	eqsstrid 4044	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
7	6	sselda 3995	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3960  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  dom cdm 5689  ran crn 5690  ‘cfv 6563  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Edgcedg 29079  UHGraphcuhgr 29088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-edg 29080  df-uhgr 29090

This theorem is referenced by:  edguhgr  29161  uhgredgss  29163  uhgrvd00  29567  lfuhgr2  35103  loop1cycl  35122  uspgrimprop  47811