Theorem uhgredgn0 29101

Description: An edge of a hypergraph is a nonempty subset of vertices. (Contributed by AV, 28-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgredgn0	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))

Proof of Theorem uhgredgn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgval 29022	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	uhgrf 29035	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
5	4	frnd 6654	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
6	1, 5	eqsstrid 3968	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
7	6	sselda 3929	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3894  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4545  {csn 4571  dom cdm 5611  ran crn 5612  ‘cfv 6476  Vtxcvtx 28969  iEdgciedg 28970  Edgcedg 29020  UHGraphcuhgr 29029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-fv 6484  df-edg 29021  df-uhgr 29031

This theorem is referenced by:  edguhgr  29102  uhgredgss  29104  uhgrvd00  29508  lfuhgr2  35155  loop1cycl  35173