Theorem uhgredgn0 29763

Description: An edge of a hypergraph is a nonempty subset of vertices. (Contributed by AV, 28-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgredgn0	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))

Proof of Theorem uhgredgn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgval 29684	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	uhgrf 29697	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
5	4	frnd 6748	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
6	1, 5	eqsstrid 3951	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
7	6	sselda 3913	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  dom cdm 5658  ran crn 5659  ‘cfv 6566  Vtxcvtx 29631  iEdgciedg 29632  Edgcedg 29682  UHGraphcuhgr 29691

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-edg 29683  df-uhgr 29693

This theorem is used by:  edguhgr  29764  uhgredgss  29766  lfuhgr2  29784  uhgrvd00  30172  loop1cycl  30801