Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfuhgr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfuhgr2 33769
Description: A hypergraph is loop-free if and only if every edge is not a loop. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lfuhgr.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr.2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lfuhgr2 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem lfuhgr2
StepHypRef Expression
1 lfuhgr.1 . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 lfuhgr.2 . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
31, 2lfuhgr 33768 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥)))
4 uhgredgn0 28121 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
5 eldifsni 4751 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → 𝑥 ≠ ∅)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑥 ≠ ∅)
7 hashneq0 14270 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ V → (0 < (♯‘𝑥) ↔ 𝑥 ≠ ∅))
87elv 3450 . . . . . . . . 9 (0 < (♯‘𝑥) ↔ 𝑥 ≠ ∅)
96, 8sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → 0 < (♯‘𝑥))
109gt0ne0d 11724 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ≠ 0)
11 hashxnn0 14245 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ V → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*)
1211elv 3450 . . . . . . . . 9 (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*
13 xnn0n0n1ge2b 13057 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0* → (((♯‘𝑥) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑥) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑥))
1514biimpi 215 . . . . . . 7 (((♯‘𝑥) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
1610, 15stoic3 1779 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
17163exp 1120 . . . . 5 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑥) ≠ 1 → 2 ≤ (♯‘𝑥))))
1817a2d 29 . . . 4 (𝐺 ∈ UHGraph → ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑥) ≠ 1) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → 2 ≤ (♯‘𝑥))))
1918ralimdv2 3157 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥)))
20 1xr 11219 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
21 hashxrcl 14263 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
2221elv 3450 . . . . 5 (♯‘𝑥) ∈ ℝ*
23 1lt2 12329 . . . . . 6 1 < 2
24 2re 12232 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2524rexri 11218 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ*
26 xrltletr 13082 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℝ*) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 1 < (♯‘𝑥)))
2720, 25, 22, 26mp3an 1462 . . . . . 6 ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 1 < (♯‘𝑥))
2823, 27mpan 689 . . . . 5 (2 ≤ (♯‘𝑥) → 1 < (♯‘𝑥))
29 xrltne 13088 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 1 < (♯‘𝑥)) → (♯‘𝑥) ≠ 1)
3020, 22, 28, 29mp3an12i 1466 . . . 4 (2 ≤ (♯‘𝑥) → (♯‘𝑥) ≠ 1)
3130ralimi 3083 . . 3 (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1)
3219, 31impbid1 224 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥)))
333, 32bitr4d 282 1 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3444  cdif 3908  c0 4283  𝒫 cpw 4561  {csn 4587   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  wf 6493  cfv 6497  0cc0 11056  1c1 11057  *cxr 11193   < clt 11194  cle 11195  2c2 12213  0*cxnn0 12490  chash 14236  Vtxcvtx 27989  iEdgciedg 27990  Edgcedg 28040  UHGraphcuhgr 28049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-hash 14237  df-edg 28041  df-uhgr 28051
This theorem is referenced by:  lfuhgr3  33770
  Copyright terms: Public domain W3C validator