Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfuhgr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfuhgr2 35088
Description: A hypergraph is loop-free if and only if every edge is not a loop. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lfuhgr.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr.2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lfuhgr2 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem lfuhgr2
StepHypRef Expression
1 lfuhgr.1 . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 lfuhgr.2 . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
31, 2lfuhgr 35087 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥)))
4 uhgredgn0 29165 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
5 eldifsni 4815 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → 𝑥 ≠ ∅)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑥 ≠ ∅)
7 hashneq0 14415 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ V → (0 < (♯‘𝑥) ↔ 𝑥 ≠ ∅))
87elv 3493 . . . . . . . . 9 (0 < (♯‘𝑥) ↔ 𝑥 ≠ ∅)
96, 8sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → 0 < (♯‘𝑥))
109gt0ne0d 11856 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ≠ 0)
11 hashxnn0 14390 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ V → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*)
1211elv 3493 . . . . . . . . 9 (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*
13 xnn0n0n1ge2b 13196 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0* → (((♯‘𝑥) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑥) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑥))
1514biimpi 216 . . . . . . 7 (((♯‘𝑥) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
1610, 15stoic3 1774 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
17163exp 1119 . . . . 5 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑥) ≠ 1 → 2 ≤ (♯‘𝑥))))
1817a2d 29 . . . 4 (𝐺 ∈ UHGraph → ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑥) ≠ 1) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → 2 ≤ (♯‘𝑥))))
1918ralimdv2 3169 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥)))
20 1xr 11351 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
21 hashxrcl 14408 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
2221elv 3493 . . . . 5 (♯‘𝑥) ∈ ℝ*
23 1lt2 12466 . . . . . 6 1 < 2
24 2re 12369 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2524rexri 11350 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ*
26 xrltletr 13221 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℝ*) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 1 < (♯‘𝑥)))
2720, 25, 22, 26mp3an 1461 . . . . . 6 ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 1 < (♯‘𝑥))
2823, 27mpan 689 . . . . 5 (2 ≤ (♯‘𝑥) → 1 < (♯‘𝑥))
29 xrltne 13227 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 1 < (♯‘𝑥)) → (♯‘𝑥) ≠ 1)
3020, 22, 28, 29mp3an12i 1465 . . . 4 (2 ≤ (♯‘𝑥) → (♯‘𝑥) ≠ 1)
3130ralimi 3089 . . 3 (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1)
3219, 31impbid1 225 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥)))
333, 32bitr4d 282 1 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  wral 3067  {crab 3443  Vcvv 3488  cdif 3973  c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  wf 6571  cfv 6575  0cc0 11186  1c1 11187  *cxr 11325   < clt 11326  cle 11327  2c2 12350  0*cxnn0 12627  chash 14381  Vtxcvtx 29033  iEdgciedg 29034  Edgcedg 29084  UHGraphcuhgr 29093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-n0 12556  df-xnn0 12628  df-z 12642  df-uz 12906  df-fz 13570  df-hash 14382  df-edg 29085  df-uhgr 29095
This theorem is referenced by:  lfuhgr3  35089
  Copyright terms: Public domain W3C validator