Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfuhgr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfuhgr2 34636
Description: A hypergraph is loop-free if and only if every edge is not a loop. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lfuhgr.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr.2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lfuhgr2 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem lfuhgr2
StepHypRef Expression
1 lfuhgr.1 . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 lfuhgr.2 . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
31, 2lfuhgr 34635 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥)))
4 uhgredgn0 28891 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
5 eldifsni 4788 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → 𝑥 ≠ ∅)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑥 ≠ ∅)
7 hashneq0 14326 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ V → (0 < (♯‘𝑥) ↔ 𝑥 ≠ ∅))
87elv 3474 . . . . . . . . 9 (0 < (♯‘𝑥) ↔ 𝑥 ≠ ∅)
96, 8sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → 0 < (♯‘𝑥))
109gt0ne0d 11779 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ≠ 0)
11 hashxnn0 14301 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ V → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*)
1211elv 3474 . . . . . . . . 9 (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*
13 xnn0n0n1ge2b 13114 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0* → (((♯‘𝑥) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑥) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑥))
1514biimpi 215 . . . . . . 7 (((♯‘𝑥) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
1610, 15stoic3 1770 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
17163exp 1116 . . . . 5 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑥) ≠ 1 → 2 ≤ (♯‘𝑥))))
1817a2d 29 . . . 4 (𝐺 ∈ UHGraph → ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑥) ≠ 1) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → 2 ≤ (♯‘𝑥))))
1918ralimdv2 3157 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥)))
20 1xr 11274 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
21 hashxrcl 14319 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
2221elv 3474 . . . . 5 (♯‘𝑥) ∈ ℝ*
23 1lt2 12384 . . . . . 6 1 < 2
24 2re 12287 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2524rexri 11273 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ*
26 xrltletr 13139 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℝ*) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 1 < (♯‘𝑥)))
2720, 25, 22, 26mp3an 1457 . . . . . 6 ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 1 < (♯‘𝑥))
2823, 27mpan 687 . . . . 5 (2 ≤ (♯‘𝑥) → 1 < (♯‘𝑥))
29 xrltne 13145 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 1 < (♯‘𝑥)) → (♯‘𝑥) ≠ 1)
3020, 22, 28, 29mp3an12i 1461 . . . 4 (2 ≤ (♯‘𝑥) → (♯‘𝑥) ≠ 1)
3130ralimi 3077 . . 3 (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1)
3219, 31impbid1 224 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥)))
333, 32bitr4d 282 1 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468  cdif 3940  c0 4317  𝒫 cpw 4597  {csn 4623   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  wf 6532  cfv 6536  0cc0 11109  1c1 11110  *cxr 11248   < clt 11249  cle 11250  2c2 12268  0*cxnn0 12545  chash 14292  Vtxcvtx 28759  iEdgciedg 28760  Edgcedg 28810  UHGraphcuhgr 28819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-hash 14293  df-edg 28811  df-uhgr 28821
This theorem is referenced by:  lfuhgr3  34637
  Copyright terms: Public domain W3C validator