Theorem lfuhgr2 35430

Description: A hypergraph is loop-free if and only if every edge is not a loop. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgr.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr.2	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lfuhgr2	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem lfuhgr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfuhgr.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		lfuhgr.2	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	lfuhgr 35429	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥)))
4		uhgredgn0 29286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
5		eldifsni 4747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → 𝑥 ≠ ∅)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑥 ≠ ∅)
7		hashneq0 14371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ V → (0 < (♯‘𝑥) ↔ 𝑥 ≠ ∅))
8	7	elv 3458	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < (♯‘𝑥) ↔ 𝑥 ≠ ∅)
9	6, 8	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → 0 < (♯‘𝑥))
10	9	gt0ne0d 11745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ≠ 0)
11		hashxnn0 14346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ V → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*)
12	11	elv 3458	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*
13		xnn0n0n1ge2b 13128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0* → (((♯‘𝑥) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑥) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑥))
15	14	biimpi 218	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑥) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
16	10, 15	stoic3 1795	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
17	16	3exp 1131	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑥) ≠ 1 → 2 ≤ (♯‘𝑥))))
18	17	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑥) ≠ 1) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → 2 ≤ (♯‘𝑥))))
19	18	ralimdv2 3170	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥)))
20		1xr 11235	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
21		hashxrcl 14364	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
22	21	elv 3458	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℝ*
23		1lt2 12384	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
24		2re 12286	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
25	24	rexri 11234	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ*
26		xrltletr 13153	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℝ*) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 1 < (♯‘𝑥)))
27	20, 25, 22, 26	mp3an 1481	. . . . . 6 ⊢ ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 1 < (♯‘𝑥))
28	23, 27	mpan 700	. . . . 5 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝑥) → 1 < (♯‘𝑥))
29		xrltne 13159	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 1 < (♯‘𝑥)) → (♯‘𝑥) ≠ 1)
30	20, 22, 28, 29	mp3an12i 1485	. . . 4 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝑥) → (♯‘𝑥) ≠ 1)
31	30	ralimi 3098	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1)
32	19, 31	impbid1 227	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥)))
33	3, 32	bitr4d 284	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  {crab 3413  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  {csn 4579   class class class wbr 5097  dom cdm 5643  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  0cc0 11067  1c1 11068  ℝ^*cxr 11209   < clt 11210   ≤ cle 11211  2c2 12266  ℕ₀^*cxnn0 12548  ♯chash 14337  Vtxcvtx 29154  iEdgciedg 29155  Edgcedg 29205  UHGraphcuhgr 29214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-n0 12476  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-hash 14338  df-edg 29206  df-uhgr 29216

This theorem is referenced by:  lfuhgr3  35431