Theorem lfuhgr2 34097

Description: A hypergraph is loop-free if and only if every edge is not a loop. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgr.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr.2	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lfuhgr2	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem lfuhgr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfuhgr.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		lfuhgr.2	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	lfuhgr 34096	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥)))
4		uhgredgn0 28377	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
5		eldifsni 4792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → 𝑥 ≠ ∅)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑥 ≠ ∅)
7		hashneq0 14320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ V → (0 < (♯‘𝑥) ↔ 𝑥 ≠ ∅))
8	7	elv 3480	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < (♯‘𝑥) ↔ 𝑥 ≠ ∅)
9	6, 8	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → 0 < (♯‘𝑥))
10	9	gt0ne0d 11774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ≠ 0)
11		hashxnn0 14295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ V → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*)
12	11	elv 3480	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*
13		xnn0n0n1ge2b 13107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0* → (((♯‘𝑥) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑥) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑥))
15	14	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑥) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
16	10, 15	stoic3 1778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
17	16	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑥) ≠ 1 → 2 ≤ (♯‘𝑥))))
18	17	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑥) ≠ 1) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → 2 ≤ (♯‘𝑥))))
19	18	ralimdv2 3163	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥)))
20		1xr 11269	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
21		hashxrcl 14313	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
22	21	elv 3480	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℝ*
23		1lt2 12379	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
24		2re 12282	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
25	24	rexri 11268	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ*
26		xrltletr 13132	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℝ*) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 1 < (♯‘𝑥)))
27	20, 25, 22, 26	mp3an 1461	. . . . . 6 ⊢ ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 1 < (♯‘𝑥))
28	23, 27	mpan 688	. . . . 5 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝑥) → 1 < (♯‘𝑥))
29		xrltne 13138	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 1 < (♯‘𝑥)) → (♯‘𝑥) ≠ 1)
30	20, 22, 28, 29	mp3an12i 1465	. . . 4 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝑥) → (♯‘𝑥) ≠ 1)
31	30	ralimi 3083	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1)
32	19, 31	impbid1 224	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥)))
33	3, 32	bitr4d 281	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   ∖ cdif 3944  ∅c0 4321  𝒫 cpw 4601  {csn 4627   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  0cc0 11106  1c1 11107  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  2c2 12263  ℕ₀^*cxnn0 12540  ♯chash 14286  Vtxcvtx 28245  iEdgciedg 28246  Edgcedg 28296  UHGraphcuhgr 28305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287  df-edg 28297  df-uhgr 28307

This theorem is referenced by:  lfuhgr3  34098