Theorem lfuhgr2 35155

Description: A hypergraph is loop-free if and only if every edge is not a loop. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgr.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr.2	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lfuhgr2	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem lfuhgr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfuhgr.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		lfuhgr.2	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	lfuhgr 35154	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥)))
4		uhgredgn0 29101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
5		eldifsni 4737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → 𝑥 ≠ ∅)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑥 ≠ ∅)
7		hashneq0 14266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ V → (0 < (♯‘𝑥) ↔ 𝑥 ≠ ∅))
8	7	elv 3441	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < (♯‘𝑥) ↔ 𝑥 ≠ ∅)
9	6, 8	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → 0 < (♯‘𝑥))
10	9	gt0ne0d 11676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ≠ 0)
11		hashxnn0 14241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ V → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*)
12	11	elv 3441	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*
13		xnn0n0n1ge2b 13026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0* → (((♯‘𝑥) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑥) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑥))
15	14	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑥) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
16	10, 15	stoic3 1777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
17	16	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑥) ≠ 1 → 2 ≤ (♯‘𝑥))))
18	17	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑥) ≠ 1) → (𝑥 ∈ (Edg‘𝐺) → 2 ≤ (♯‘𝑥))))
19	18	ralimdv2 3141	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥)))
20		1xr 11166	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
21		hashxrcl 14259	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
22	21	elv 3441	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℝ*
23		1lt2 12286	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
24		2re 12194	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
25	24	rexri 11165	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ*
26		xrltletr 13051	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℝ*) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 1 < (♯‘𝑥)))
27	20, 25, 22, 26	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 1 < (♯‘𝑥))
28	23, 27	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝑥) → 1 < (♯‘𝑥))
29		xrltne 13057	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 1 < (♯‘𝑥)) → (♯‘𝑥) ≠ 1)
30	20, 22, 28, 29	mp3an12i 1467	. . . 4 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝑥) → (♯‘𝑥) ≠ 1)
31	30	ralimi 3069	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1)
32	19, 31	impbid1 225	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1 ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)2 ≤ (♯‘𝑥)))
33	3, 32	bitr4d 282	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) ≠ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  {crab 3395  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4545  {csn 4571   class class class wbr 5086  dom cdm 5611  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  0cc0 11001  1c1 11002  ℝ^*cxr 11140   < clt 11141   ≤ cle 11142  2c2 12175  ℕ₀^*cxnn0 12449  ♯chash 14232  Vtxcvtx 28969  iEdgciedg 28970  Edgcedg 29020  UHGraphcuhgr 29029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-hash 14233  df-edg 29021  df-uhgr 29031

This theorem is referenced by:  lfuhgr3  35156