Theorem uhgrvd00 29469

Description: If every vertex in a hypergraph has degree 0, there is no edge in the graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.) (Revised by AV, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdusgradjvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdusgradjvtx.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uhgrvd00	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → 𝐸 = ∅))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem uhgrvd00

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdusgradjvtx.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdusgradjvtx.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
4	1, 2, 3	vtxduhgr0edgnel 29429	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑣 ∈ 𝑒))
5		ralnex 3056	. . . 4 ⊢ (∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑣 ∈ 𝑒)
6	4, 5	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒))
7	6	ralbidva 3155	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒))
8		ralcom 3266	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ∀𝑒 ∈ 𝐸 ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒)
9		ralnex2 3114	. . . . 5 ⊢ (∀𝑒 ∈ 𝐸 ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
10	8, 9	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
11		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐸)
12	2	eleq2i 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐸 ↔ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
13		uhgredgn0 29062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
14	12, 13	sylan2b 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
15		eldifsn 4753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑒 ≠ ∅))
16		elpwi 4573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
17	1	sseq2i 3979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑉 ↔ 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
18		ssn0rex 4324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑒 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑒 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
19	18	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑉 → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
20	17, 19	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺) → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
21	16, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
22	21	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑒 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
23	15, 22	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
24	14, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
25	11, 24	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
26	25	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑒 ∈ 𝐸 → (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)))
27	26	eximdv 1917	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑒 𝑒 ∈ 𝐸 → ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)))
28		n0 4319	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ≠ ∅ ↔ ∃𝑒 𝑒 ∈ 𝐸)
29		df-rex 3055	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
30	27, 28, 29	3imtr4g 296	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐸 ≠ ∅ → ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
31	30	con3d 152	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒 → ¬ 𝐸 ≠ ∅))
32	10, 31	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 → ¬ 𝐸 ≠ ∅))
33		nne 2930	. . 3 ⊢ (¬ 𝐸 ≠ ∅ ↔ 𝐸 = ∅)
34	32, 33	imbitrdi 251	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 → 𝐸 = ∅))
35	7, 34	sylbid 240	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → 𝐸 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566  {csn 4592  ‘cfv 6514  0cc0 11075  Vtxcvtx 28930  Edgcedg 28981  UHGraphcuhgr 28990  VtxDegcvtxdg 29400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-xadd 13080  df-fz 13476  df-hash 14303  df-edg 28982  df-uhgr 28992  df-vtxdg 29401

This theorem is referenced by:  usgrvd00  29470  uhgr0edg0rgrb  29509