Theorem uhgrvd00 29508

Description: If every vertex in a hypergraph has degree 0, there is no edge in the graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.) (Revised by AV, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdusgradjvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdusgradjvtx.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uhgrvd00	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → 𝐸 = ∅))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem uhgrvd00

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdusgradjvtx.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdusgradjvtx.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
4	1, 2, 3	vtxduhgr0edgnel 29468	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑣 ∈ 𝑒))
5		ralnex 3058	. . . 4 ⊢ (∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑣 ∈ 𝑒)
6	4, 5	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒))
7	6	ralbidva 3153	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒))
8		ralcom 3260	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ∀𝑒 ∈ 𝐸 ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒)
9		ralnex2 3112	. . . . 5 ⊢ (∀𝑒 ∈ 𝐸 ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
10	8, 9	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
11		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐸)
12	2	eleq2i 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐸 ↔ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
13		uhgredgn0 29101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
14	12, 13	sylan2b 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
15		eldifsn 4733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑒 ≠ ∅))
16		elpwi 4552	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
17	1	sseq2i 3959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑉 ↔ 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
18		ssn0rex 4303	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑒 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑒 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
19	18	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑉 → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
20	17, 19	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺) → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
21	16, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
22	21	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑒 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
23	15, 22	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
24	14, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
25	11, 24	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
26	25	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑒 ∈ 𝐸 → (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)))
27	26	eximdv 1918	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑒 𝑒 ∈ 𝐸 → ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)))
28		n0 4298	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ≠ ∅ ↔ ∃𝑒 𝑒 ∈ 𝐸)
29		df-rex 3057	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
30	27, 28, 29	3imtr4g 296	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐸 ≠ ∅ → ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
31	30	con3d 152	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒 → ¬ 𝐸 ≠ ∅))
32	10, 31	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 → ¬ 𝐸 ≠ ∅))
33		nne 2932	. . 3 ⊢ (¬ 𝐸 ≠ ∅ ↔ 𝐸 = ∅)
34	32, 33	imbitrdi 251	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 → 𝐸 = ∅))
35	7, 34	sylbid 240	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → 𝐸 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4545  {csn 4571  ‘cfv 6476  0cc0 11001  Vtxcvtx 28969  Edgcedg 29020  UHGraphcuhgr 29029  VtxDegcvtxdg 29439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-uz 12728  df-xadd 13007  df-fz 13403  df-hash 14233  df-edg 29021  df-uhgr 29031  df-vtxdg 29440

This theorem is referenced by:  usgrvd00  29509  uhgr0edg0rgrb  29548