MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uhgrvd00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uhgrvd00 29552
Description: If every vertex in a hypergraph has degree 0, there is no edge in the graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.) (Revised by AV, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdusgradjvtx.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdusgradjvtx.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
uhgrvd00 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → 𝐸 = ∅))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem uhgrvd00
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdusgradjvtx.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vtxdusgradjvtx.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3 eqid 2737 . . . . 5 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
41, 2, 3vtxduhgr0edgnel 29512 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸 𝑣𝑒))
5 ralnex 3072 . . . 4 (∀𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸 𝑣𝑒)
64, 5bitr4di 289 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ∀𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒))
76ralbidva 3176 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒))
8 ralcom 3289 . . . . 5 (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ∀𝑒𝐸𝑣𝑉 ¬ 𝑣𝑒)
9 ralnex2 3133 . . . . 5 (∀𝑒𝐸𝑣𝑉 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒)
108, 9bitri 275 . . . 4 (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒)
11 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒𝐸)
122eleq2i 2833 . . . . . . . . . . 11 (𝑒𝐸𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
13 uhgredgn0 29145 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
1412, 13sylan2b 594 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
15 eldifsn 4786 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑒 ≠ ∅))
16 elpwi 4607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
171sseq2i 4013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒𝑉𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
18 ssn0rex 4358 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒𝑉𝑒 ≠ ∅) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
1918ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒𝑉 → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2017, 19sylbir 235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺) → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2221imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑒 ≠ ∅) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
2315, 22sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
2414, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
2511, 24jca 511 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → (𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2625ex 412 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑒𝐸 → (𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)))
2726eximdv 1917 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑒 𝑒𝐸 → ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)))
28 n0 4353 . . . . . 6 (𝐸 ≠ ∅ ↔ ∃𝑒 𝑒𝐸)
29 df-rex 3071 . . . . . 6 (∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒 ↔ ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
3027, 28, 293imtr4g 296 . . . . 5 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐸 ≠ ∅ → ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒))
3130con3d 152 . . . 4 (𝐺 ∈ UHGraph → (¬ ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒 → ¬ 𝐸 ≠ ∅))
3210, 31biimtrid 242 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 → ¬ 𝐸 ≠ ∅))
33 nne 2944 . . 3 𝐸 ≠ ∅ ↔ 𝐸 = ∅)
3432, 33imbitrdi 251 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒𝐸 = ∅))
357, 34sylbid 240 1 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → 𝐸 = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cdif 3948  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  cfv 6561  0cc0 11155  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  UHGraphcuhgr 29073  VtxDegcvtxdg 29483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-fz 13548  df-hash 14370  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-vtxdg 29484
This theorem is referenced by:  usgrvd00  29553  uhgr0edg0rgrb  29592
  Copyright terms: Public domain W3C validator