MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uhgrvd00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uhgrvd00 29215
Description: If every vertex in a hypergraph has degree 0, there is no edge in the graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.) (Revised by AV, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdusgradjvtx.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vtxdusgradjvtx.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
uhgrvd00 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 0 β†’ 𝐸 = βˆ…))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem uhgrvd00
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdusgradjvtx.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 vtxdusgradjvtx.e . . . . 5 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
3 eqid 2724 . . . . 5 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
41, 2, 3vtxduhgr0edgnel 29175 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 𝑣 ∈ 𝑒))
5 ralnex 3064 . . . 4 (βˆ€π‘’ ∈ 𝐸 Β¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 𝑣 ∈ 𝑒)
64, 5bitr4di 289 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 0 ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐸 Β¬ 𝑣 ∈ 𝑒))
76ralbidva 3167 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 0 ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘’ ∈ 𝐸 Β¬ 𝑣 ∈ 𝑒))
8 ralcom 3278 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘’ ∈ 𝐸 Β¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐸 βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑣 ∈ 𝑒)
9 ralnex2 3125 . . . . 5 (βˆ€π‘’ ∈ 𝐸 βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
108, 9bitri 275 . . . 4 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘’ ∈ 𝐸 Β¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
11 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ 𝑒 ∈ 𝐸)
122eleq2i 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝐸 ↔ 𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ))
13 uhgredgn0 28812 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {βˆ…}))
1412, 13sylan2b 593 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {βˆ…}))
15 eldifsn 4782 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…))
16 elpwi 4601 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) β†’ 𝑒 βŠ† (Vtxβ€˜πΊ))
171sseq2i 4003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 βŠ† 𝑉 ↔ 𝑒 βŠ† (Vtxβ€˜πΊ))
18 ssn0rex 4347 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
1918ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 βŠ† 𝑉 β†’ (𝑒 β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
2017, 19sylbir 234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 βŠ† (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑒 β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑒 β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
2221imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
2315, 22sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {βˆ…}) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
2414, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
2511, 24jca 511 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
2625ex 412 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (𝑒 ∈ 𝐸 β†’ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)))
2726eximdv 1912 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (βˆƒπ‘’ 𝑒 ∈ 𝐸 β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)))
28 n0 4338 . . . . . 6 (𝐸 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘’ 𝑒 ∈ 𝐸)
29 df-rex 3063 . . . . . 6 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
3027, 28, 293imtr4g 296 . . . . 5 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (𝐸 β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
3130con3d 152 . . . 4 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒 β†’ Β¬ 𝐸 β‰  βˆ…))
3210, 31biimtrid 241 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘’ ∈ 𝐸 Β¬ 𝑣 ∈ 𝑒 β†’ Β¬ 𝐸 β‰  βˆ…))
33 nne 2936 . . 3 (Β¬ 𝐸 β‰  βˆ… ↔ 𝐸 = βˆ…)
3432, 33imbitrdi 250 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘’ ∈ 𝐸 Β¬ 𝑣 ∈ 𝑒 β†’ 𝐸 = βˆ…))
357, 34sylbid 239 1 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 0 β†’ 𝐸 = βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  π’« cpw 4594  {csn 4620  β€˜cfv 6533  0cc0 11105  Vtxcvtx 28680  Edgcedg 28731  UHGraphcuhgr 28740  VtxDegcvtxdg 29146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-xadd 13089  df-fz 13481  df-hash 14287  df-edg 28732  df-uhgr 28742  df-vtxdg 29147
This theorem is referenced by:  usgrvd00  29216  uhgr0edg0rgrb  29255
  Copyright terms: Public domain W3C validator