Theorem uhgrvd00 29552

Description: If every vertex in a hypergraph has degree 0, there is no edge in the graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.) (Revised by AV, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdusgradjvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdusgradjvtx.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uhgrvd00	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → 𝐸 = ∅))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem uhgrvd00

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdusgradjvtx.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdusgradjvtx.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
4	1, 2, 3	vtxduhgr0edgnel 29512	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑣 ∈ 𝑒))
5		ralnex 3072	. . . 4 ⊢ (∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑣 ∈ 𝑒)
6	4, 5	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒))
7	6	ralbidva 3176	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒))
8		ralcom 3289	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ∀𝑒 ∈ 𝐸 ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒)
9		ralnex2 3133	. . . . 5 ⊢ (∀𝑒 ∈ 𝐸 ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
10	8, 9	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
11		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐸)
12	2	eleq2i 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐸 ↔ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
13		uhgredgn0 29145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
14	12, 13	sylan2b 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
15		eldifsn 4786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑒 ≠ ∅))
16		elpwi 4607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
17	1	sseq2i 4013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑉 ↔ 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
18		ssn0rex 4358	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑒 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑒 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
19	18	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑉 → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
20	17, 19	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺) → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
21	16, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
22	21	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑒 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
23	15, 22	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
24	14, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
25	11, 24	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
26	25	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑒 ∈ 𝐸 → (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)))
27	26	eximdv 1917	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑒 𝑒 ∈ 𝐸 → ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)))
28		n0 4353	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ≠ ∅ ↔ ∃𝑒 𝑒 ∈ 𝐸)
29		df-rex 3071	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
30	27, 28, 29	3imtr4g 296	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐸 ≠ ∅ → ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
31	30	con3d 152	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒 → ¬ 𝐸 ≠ ∅))
32	10, 31	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 → ¬ 𝐸 ≠ ∅))
33		nne 2944	. . 3 ⊢ (¬ 𝐸 ≠ ∅ ↔ 𝐸 = ∅)
34	32, 33	imbitrdi 251	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 → 𝐸 = ∅))
35	7, 34	sylbid 240	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → 𝐸 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  ‘cfv 6561  0cc0 11155  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  UHGraphcuhgr 29073  VtxDegcvtxdg 29483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-fz 13548  df-hash 14370  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-vtxdg 29484

This theorem is referenced by:  usgrvd00  29553  uhgr0edg0rgrb  29592