MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uhgrvd00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uhgrvd00 27230
Description: If every vertex in a hypergraph has degree 0, there is no edge in the graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.) (Revised by AV, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdusgradjvtx.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdusgradjvtx.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
uhgrvd00 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → 𝐸 = ∅))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem uhgrvd00
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdusgradjvtx.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vtxdusgradjvtx.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3 eqid 2826 . . . . 5 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
41, 2, 3vtxduhgr0edgnel 27190 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸 𝑣𝑒))
5 ralnex 3241 . . . 4 (∀𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸 𝑣𝑒)
64, 5syl6bbr 290 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ∀𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒))
76ralbidva 3201 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒))
8 ralcom 3359 . . . . 5 (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ∀𝑒𝐸𝑣𝑉 ¬ 𝑣𝑒)
9 ralnex2 3265 . . . . 5 (∀𝑒𝐸𝑣𝑉 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒)
108, 9bitri 276 . . . 4 (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒)
11 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒𝐸)
122eleq2i 2909 . . . . . . . . . . 11 (𝑒𝐸𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
13 uhgredgn0 26827 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
1412, 13sylan2b 593 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
15 eldifsn 4718 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑒 ≠ ∅))
16 elpwi 4554 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
171sseq2i 4000 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒𝑉𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
18 ssn0rex 4319 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒𝑉𝑒 ≠ ∅) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
1918ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒𝑉 → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2017, 19sylbir 236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺) → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2221imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑒 ≠ ∅) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
2315, 22sylbi 218 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
2414, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
2511, 24jca 512 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → (𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2625ex 413 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑒𝐸 → (𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)))
2726eximdv 1911 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑒 𝑒𝐸 → ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)))
28 n0 4314 . . . . . 6 (𝐸 ≠ ∅ ↔ ∃𝑒 𝑒𝐸)
29 df-rex 3149 . . . . . 6 (∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒 ↔ ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
3027, 28, 293imtr4g 297 . . . . 5 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐸 ≠ ∅ → ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒))
3130con3d 155 . . . 4 (𝐺 ∈ UHGraph → (¬ ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒 → ¬ 𝐸 ≠ ∅))
3210, 31syl5bi 243 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 → ¬ 𝐸 ≠ ∅))
33 nne 3025 . . 3 𝐸 ≠ ∅ ↔ 𝐸 = ∅)
3432, 33syl6ib 252 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒𝐸 = ∅))
357, 34sylbid 241 1 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → 𝐸 = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  wrex 3144  cdif 3937  wss 3940  c0 4295  𝒫 cpw 4542  {csn 4564  cfv 6352  0cc0 10526  Vtxcvtx 26695  Edgcedg 26746  UHGraphcuhgr 26755  VtxDegcvtxdg 27161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-uz 12233  df-xadd 12498  df-fz 12883  df-hash 13681  df-edg 26747  df-uhgr 26757  df-vtxdg 27162
This theorem is referenced by:  usgrvd00  27231  uhgr0edg0rgrb  27270
  Copyright terms: Public domain W3C validator