Theorem uhgrvd00 29534

Description: If every vertex in a hypergraph has degree 0, there is no edge in the graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.) (Revised by AV, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdusgradjvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdusgradjvtx.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uhgrvd00	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → 𝐸 = ∅))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem uhgrvd00

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdusgradjvtx.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdusgradjvtx.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
4	1, 2, 3	vtxduhgr0edgnel 29494	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑣 ∈ 𝑒))
5		ralnex 3059	. . . 4 ⊢ (∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑣 ∈ 𝑒)
6	4, 5	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒))
7	6	ralbidva 3154	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒))
8		ralcom 3261	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ∀𝑒 ∈ 𝐸 ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒)
9		ralnex2 3113	. . . . 5 ⊢ (∀𝑒 ∈ 𝐸 ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
10	8, 9	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
11		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐸)
12	2	eleq2i 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐸 ↔ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
13		uhgredgn0 29127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
14	12, 13	sylan2b 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
15		eldifsn 4739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑒 ≠ ∅))
16		elpwi 4558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
17	1	sseq2i 3960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑉 ↔ 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
18		ssn0rex 4307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑒 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑒 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
19	18	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑉 → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
20	17, 19	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺) → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
21	16, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
22	21	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑒 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
23	15, 22	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
24	14, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)
25	11, 24	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
26	25	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑒 ∈ 𝐸 → (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)))
27	26	eximdv 1918	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑒 𝑒 ∈ 𝐸 → ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒)))
28		n0 4302	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ≠ ∅ ↔ ∃𝑒 𝑒 ∈ 𝐸)
29		df-rex 3058	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
30	27, 28, 29	3imtr4g 296	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐸 ≠ ∅ → ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒))
31	30	con3d 152	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (¬ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ 𝑒 → ¬ 𝐸 ≠ ∅))
32	10, 31	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 → ¬ 𝐸 ≠ ∅))
33		nne 2933	. . 3 ⊢ (¬ 𝐸 ≠ ∅ ↔ 𝐸 = ∅)
34	32, 33	imbitrdi 251	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ¬ 𝑣 ∈ 𝑒 → 𝐸 = ∅))
35	7, 34	sylbid 240	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → 𝐸 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4551  {csn 4577  ‘cfv 6489  0cc0 11017  Vtxcvtx 28995  Edgcedg 29046  UHGraphcuhgr 29055  VtxDegcvtxdg 29465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393  df-xnn0 12466  df-z 12480  df-uz 12743  df-xadd 13018  df-fz 13415  df-hash 14245  df-edg 29047  df-uhgr 29057  df-vtxdg 29466

This theorem is referenced by:  usgrvd00  29535  uhgr0edg0rgrb  29574