MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uhgrvd00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uhgrvd00 26839
Description: If every vertex in a hypergraph has degree 0, there is no edge in the graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.) (Revised by AV, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdusgradjvtx.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdusgradjvtx.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
uhgrvd00 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → 𝐸 = ∅))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem uhgrvd00
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdusgradjvtx.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vtxdusgradjvtx.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3 eqid 2825 . . . . 5 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
41, 2, 3vtxduhgr0edgnel 26799 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸 𝑣𝑒))
5 ralnex 3201 . . . 4 (∀𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸 𝑣𝑒)
64, 5syl6bbr 281 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ∀𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒))
76ralbidva 3194 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒))
8 ralcom 3308 . . . . 5 (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ∀𝑒𝐸𝑣𝑉 ¬ 𝑣𝑒)
9 ralnex2 3255 . . . . 5 (∀𝑒𝐸𝑣𝑉 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒)
108, 9bitri 267 . . . 4 (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒)
11 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒𝐸)
122eleq2i 2898 . . . . . . . . . . 11 (𝑒𝐸𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
13 uhgredgn0 26433 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
1412, 13sylan2b 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
15 eldifsn 4538 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑒 ≠ ∅))
16 elpwi 4390 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
171sseq2i 3855 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒𝑉𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
18 ssn0rex 4167 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒𝑉𝑒 ≠ ∅) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
1918ex 403 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒𝑉 → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2017, 19sylbir 227 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺) → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2221imp 397 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑒 ≠ ∅) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
2315, 22sylbi 209 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
2414, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
2511, 24jca 507 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → (𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2625ex 403 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑒𝐸 → (𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)))
2726eximdv 2016 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑒 𝑒𝐸 → ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)))
28 n0 4162 . . . . . 6 (𝐸 ≠ ∅ ↔ ∃𝑒 𝑒𝐸)
29 df-rex 3123 . . . . . 6 (∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒 ↔ ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
3027, 28, 293imtr4g 288 . . . . 5 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐸 ≠ ∅ → ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒))
3130con3d 150 . . . 4 (𝐺 ∈ UHGraph → (¬ ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒 → ¬ 𝐸 ≠ ∅))
3210, 31syl5bi 234 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 → ¬ 𝐸 ≠ ∅))
33 nne 3003 . . 3 𝐸 ≠ ∅ ↔ 𝐸 = ∅)
3432, 33syl6ib 243 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒𝐸 = ∅))
357, 34sylbid 232 1 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → 𝐸 = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wex 1878  wcel 2164  wne 2999  wral 3117  wrex 3118  cdif 3795  wss 3798  c0 4146  𝒫 cpw 4380  {csn 4399  cfv 6127  0cc0 10259  Vtxcvtx 26301  Edgcedg 26352  UHGraphcuhgr 26361  VtxDegcvtxdg 26770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-uz 11976  df-xadd 12240  df-fz 12627  df-hash 13418  df-edg 26353  df-uhgr 26363  df-vtxdg 26771
This theorem is referenced by:  usgrvd00  26840  uhgr0edg0rgrb  26879
  Copyright terms: Public domain W3C validator