Theorem upgrres1lem2 27371

Description: Lemma 2 for upgrres1 27373. (Contributed by AV, 7-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
upgrres1.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
upgrres1.s	⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩

Assertion

Ref	Expression
upgrres1lem2	⊢ (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem upgrres1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrres1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
2	1	fveq2i 6709	. 2 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩)
3		upgrres1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		upgrres1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
5		upgrres1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
6	3, 4, 5	upgrres1lem1 27369	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ ( I ↾ 𝐹) ∈ V)
7		opvtxfv 27067	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ ( I ↾ 𝐹) ∈ V) → (Vtx‘⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩) = (𝑉 ∖ {𝑁}))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Vtx‘⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩) = (𝑉 ∖ {𝑁})
9	2, 8	eqtri 2762	1 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∉ wnel 3039  {crab 3058  Vcvv 3401   ∖ cdif 3854  {csn 4531  ⟨cop 4537   I cid 5443   ↾ cres 5542  ‘cfv 6369  Vtxcvtx 27059  Edgcedg 27110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-op 4538  df-uni 4810  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-id 5444  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fv 6377  df-1st 7750  df-vtx 27061

This theorem is referenced by:  upgrres1  27373  umgrres1  27374  usgrres1  27375  nbupgrres  27424  nbupgruvtxres  27467  uvtxupgrres  27468  cusgrres  27508