Theorem uvtxupgrres 29494

Description: A universal vertex is universal in a restricted pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.) (Revised by AV, 8-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbupgruvtxres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbupgruvtxres.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbupgruvtxres.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
nbupgruvtxres.s	⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩

Assertion

Ref	Expression
uvtxupgrres	⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝐾   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem uvtxupgrres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbupgruvtxres.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	uvtxnbgr 29486	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾}))
3		nbupgruvtxres.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4		nbupgruvtxres.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
5		nbupgruvtxres.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
6	1, 3, 4, 5	nbupgruvtxres 29493	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾}) → (𝑆 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝑁, 𝐾})))
7	6	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾})) → (𝑆 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝑁, 𝐾}))
8		difpr 4747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁, 𝐾}) = ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∖ {𝐾})
9	1, 3, 4, 5	upgrres1lem2 29397	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})
10	9	difeq1i 4063	. . . . . . . 8 ⊢ ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾}) = ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∖ {𝐾})
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾}) = ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∖ {𝐾}))
12	8, 11	eqtr4id 2791	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝑉 ∖ {𝑁, 𝐾}) = ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾}))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾})) → (𝑉 ∖ {𝑁, 𝐾}) = ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾}))
14	7, 13	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾})) → (𝑆 NeighbVtx 𝐾) = ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾}))
15		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
16	15, 9	eleqtrrdi 2848	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝐾 ∈ (Vtx‘𝑆))
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾})) → 𝐾 ∈ (Vtx‘𝑆))
18		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝑆)
19	18	uvtxnbgrb 29487	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝑆) → (𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝑆) ↔ (𝑆 NeighbVtx 𝐾) = ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾})))
20	17, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾})) → (𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝑆) ↔ (𝑆 NeighbVtx 𝐾) = ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾})))
21	14, 20	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾})) → 𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝑆))
22	21	ex 412	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾}) → 𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
23	2, 22	syl5 34	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  {crab 3390   ∖ cdif 3887  {csn 4568  {cpr 4570  ⟨cop 4574   I cid 5519   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Vtxcvtx 29082  Edgcedg 29133  UPGraphcupgr 29166   NeighbVtx cnbgr 29418  UnivVtxcuvtx 29471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-hash 14287  df-vtx 29084  df-iedg 29085  df-edg 29134  df-upgr 29168  df-nbgr 29419  df-uvtx 29472

This theorem is referenced by:  cusgrres  29535