Theorem uvtxupgrres 29342

Description: A universal vertex is universal in a restricted pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.) (Revised by AV, 8-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbupgruvtxres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbupgruvtxres.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbupgruvtxres.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
nbupgruvtxres.s	⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩

Assertion

Ref	Expression
uvtxupgrres	⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝐾   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem uvtxupgrres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbupgruvtxres.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	uvtxnbgr 29334	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾}))
3		nbupgruvtxres.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4		nbupgruvtxres.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
5		nbupgruvtxres.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
6	1, 3, 4, 5	nbupgruvtxres 29341	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾}) → (𝑆 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝑁, 𝐾})))
7	6	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾})) → (𝑆 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝑁, 𝐾}))
8		difpr 4770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁, 𝐾}) = ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∖ {𝐾})
9	1, 3, 4, 5	upgrres1lem2 29245	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})
10	9	difeq1i 4088	. . . . . . . 8 ⊢ ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾}) = ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∖ {𝐾})
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾}) = ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∖ {𝐾}))
12	8, 11	eqtr4id 2784	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝑉 ∖ {𝑁, 𝐾}) = ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾}))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾})) → (𝑉 ∖ {𝑁, 𝐾}) = ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾}))
14	7, 13	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾})) → (𝑆 NeighbVtx 𝐾) = ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾}))
15		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
16	15, 9	eleqtrrdi 2840	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝐾 ∈ (Vtx‘𝑆))
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾})) → 𝐾 ∈ (Vtx‘𝑆))
18		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝑆)
19	18	uvtxnbgrb 29335	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝑆) → (𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝑆) ↔ (𝑆 NeighbVtx 𝐾) = ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾})))
20	17, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾})) → (𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝑆) ↔ (𝑆 NeighbVtx 𝐾) = ((Vtx‘𝑆) ∖ {𝐾})))
21	14, 20	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾})) → 𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝑆))
22	21	ex 412	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((𝐺 NeighbVtx 𝐾) = (𝑉 ∖ {𝐾}) → 𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
23	2, 22	syl5 34	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝐾 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3030  {crab 3408   ∖ cdif 3914  {csn 4592  {cpr 4594  ⟨cop 4598   I cid 5535   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Vtxcvtx 28930  Edgcedg 28981  UPGraphcupgr 29014   NeighbVtx cnbgr 29266  UnivVtxcuvtx 29319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303  df-vtx 28932  df-iedg 28933  df-edg 28982  df-upgr 29016  df-nbgr 29267  df-uvtx 29320

This theorem is referenced by:  cusgrres  29383