Theorem umgrres1 29774

Description: A multigraph obtained by removing one vertex and all edges incident with this vertex is a multigraph. Remark: This graph is not a subgraph of the original graph in the sense of df-subgr 29728 since the domains of the edge functions may not be compatible. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
upgrres1.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
upgrres1.s	⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩

Assertion

Ref	Expression
umgrres1	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ UMGraph)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem umgrres1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6856	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹
2		f1of 6817	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹)
3	1, 2	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹)
4	3	ffdmd 6733	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐹)
5		rnresi 6071	. . . 4 ⊢ ran ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
6		upgrres1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		upgrres1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8		upgrres1.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
9	6, 7, 8	umgrres1lem 29770	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
10	5, 9	eqsstrrid 3970	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐹 ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
11	4, 10	fssd 6720	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
12		upgrres1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
13		opex 5439	. . . 4 ⊢ ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩ ∈ V
14	12, 13	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ V
15	6, 7, 8, 12	upgrres1lem2 29771	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})
16	15	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
17	6, 7, 8, 12	upgrres1lem3 29772	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝑆) = ( I ↾ 𝐹)
18	17	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐹) = (iEdg‘𝑆)
19	16, 18	isumgrs 29553	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ UMGraph ↔ ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
20	14, 19	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∈ UMGraph ↔ ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
21	11, 20	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ UMGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3061  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  ⟨cop 4590   I cid 5549  dom cdm 5655  ran crn 5656   ↾ cres 5657  ⟶wf 6529  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  2c2 12319  ♯chash 14394  Vtxcvtx 29453  iEdgciedg 29454  Edgcedg 29504  UMGraphcumgr 29538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-hash 14395  df-vtx 29455  df-iedg 29456  df-edg 29505  df-uhgr 29515  df-upgr 29539  df-umgr 29540

This theorem is used by: (None)