MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrres1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrres1 29199
Description: A multigraph obtained by removing one vertex and all edges incident with this vertex is a multigraph. Remark: This graph is not a subgraph of the original graph in the sense of df-subgr 29153 since the domains of the edge functions may not be compatible. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upgrres1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
upgrres1.f 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
upgrres1.s 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
Assertion
Ref Expression
umgrres1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ UMGraph)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem umgrres1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6876 . . . . 5 ( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹
2 f1of 6838 . . . . 5 (( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹)
31, 2mp1i 13 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹)
43ffdmd 6754 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐹)
5 rnresi 6079 . . . 4 ran ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
6 upgrres1.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 upgrres1.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8 upgrres1.f . . . . 5 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
96, 7, 8umgrres1lem 29195 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
105, 9eqsstrrid 4026 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝐹 ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
114, 10fssd 6740 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
12 upgrres1.s . . . 4 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
13 opex 5466 . . . 4 ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩ ∈ V
1412, 13eqeltri 2821 . . 3 𝑆 ∈ V
156, 7, 8, 12upgrres1lem2 29196 . . . . 5 (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})
1615eqcomi 2734 . . . 4 (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
176, 7, 8, 12upgrres1lem3 29197 . . . . 5 (iEdg‘𝑆) = ( I ↾ 𝐹)
1817eqcomi 2734 . . . 4 ( I ↾ 𝐹) = (iEdg‘𝑆)
1916, 18isumgrs 28981 . . 3 (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ UMGraph ↔ ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
2014, 19mp1i 13 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝑆 ∈ UMGraph ↔ ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
2111, 20mpbird 256 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ UMGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wnel 3035  {crab 3418  Vcvv 3461  cdif 3941  𝒫 cpw 4604  {csn 4630  cop 4636   I cid 5575  dom cdm 5678  ran crn 5679  cres 5680  wf 6545  1-1-ontowf1o 6548  cfv 6549  2c2 12300  chash 14325  Vtxcvtx 28881  iEdgciedg 28882  Edgcedg 28932  UMGraphcumgr 28966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-hash 14326  df-vtx 28883  df-iedg 28884  df-edg 28933  df-uhgr 28943  df-upgr 28967  df-umgr 28968
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator