Theorem umgrres1 29472

Description: A multigraph obtained by removing one vertex and all edges incident with this vertex is a multigraph. Remark: This graph is not a subgraph of the original graph in the sense of df-subgr 29426 since the domains of the edge functions may not be compatible. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
upgrres1.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
upgrres1.s	⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩

Assertion

Ref	Expression
umgrres1	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ UMGraph)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem umgrres1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6840	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹
2		f1of 6801	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹)
3	1, 2	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹)
4	3	ffdmd 6717	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐹)
5		rnresi 6060	. . . 4 ⊢ ran ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
6		upgrres1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		upgrres1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8		upgrres1.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
9	6, 7, 8	umgrres1lem 29468	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
10	5, 9	eqsstrrid 3973	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐹 ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
11	4, 10	fssd 6704	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
12		upgrres1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
13		opex 5428	. . . 4 ⊢ ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩ ∈ V
14	12, 13	eqeltri 2857	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ V
15	6, 7, 8, 12	upgrres1lem2 29469	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})
16	15	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
17	6, 7, 8, 12	upgrres1lem3 29470	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝑆) = ( I ↾ 𝐹)
18	17	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐹) = (iEdg‘𝑆)
19	16, 18	isumgrs 29254	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ UMGraph ↔ ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
20	14, 19	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑆 ∈ UMGraph ↔ ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
21	11, 20	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ UMGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∉ wnel 3060  {crab 3413  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899  𝒫 cpw 4552  {csn 4579  ⟨cop 4585   I cid 5537  dom cdm 5643  ran crn 5644   ↾ cres 5645  ⟶wf 6512  –1-1-onto→wf1o 6515  ‘cfv 6516  2c2 12266  ♯chash 14337  Vtxcvtx 29154  iEdgciedg 29155  Edgcedg 29205  UMGraphcumgr 29239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-hash 14338  df-vtx 29156  df-iedg 29157  df-edg 29206  df-uhgr 29216  df-upgr 29240  df-umgr 29241

This theorem is referenced by: (None)