Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrres1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrres1 27107
 Description: A multigraph obtained by removing one vertex and all edges incident with this vertex is a multigraph. Remark: This graph is not a subgraph of the original graph in the sense of df-subgr 27061 since the domains of the edge functions may not be compatible. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upgrres1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
upgrres1.f 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
upgrres1.s 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
Assertion
Ref Expression
umgrres1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ UMGraph)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem umgrres1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6631 . . . . 5 ( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹
2 f1of 6594 . . . . 5 (( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹)
31, 2mp1i 13 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹)
43ffdmd 6515 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐹)
5 rnresi 5914 . . . 4 ran ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
6 upgrres1.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 upgrres1.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8 upgrres1.f . . . . 5 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
96, 7, 8umgrres1lem 27103 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
105, 9eqsstrrid 3967 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝐹 ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
114, 10fssd 6506 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
12 upgrres1.s . . . 4 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
13 opex 5324 . . . 4 ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩ ∈ V
1412, 13eqeltri 2889 . . 3 𝑆 ∈ V
156, 7, 8, 12upgrres1lem2 27104 . . . . 5 (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})
1615eqcomi 2810 . . . 4 (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
176, 7, 8, 12upgrres1lem3 27105 . . . . 5 (iEdg‘𝑆) = ( I ↾ 𝐹)
1817eqcomi 2810 . . . 4 ( I ↾ 𝐹) = (iEdg‘𝑆)
1916, 18isumgrs 26892 . . 3 (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ UMGraph ↔ ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
2014, 19mp1i 13 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝑆 ∈ UMGraph ↔ ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
2111, 20mpbird 260 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ UMGraph)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ∉ wnel 3094  {crab 3113  Vcvv 3444   ∖ cdif 3881  𝒫 cpw 4500  {csn 4528  ⟨cop 4534   I cid 5427  dom cdm 5523  ran crn 5524   ↾ cres 5525  ⟶wf 6324  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  2c2 11684  ♯chash 13690  Vtxcvtx 26792  iEdgciedg 26793  Edgcedg 26843  UMGraphcumgr 26877 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-hash 13691  df-vtx 26794  df-iedg 26795  df-edg 26844  df-uhgr 26854  df-upgr 26878  df-umgr 26879 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator