MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vcidOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vcidOLD 30321
Description: Identity element for the scalar product of a complex vector space. (Contributed by NM, 3-Nov-2006.) Obsolete theorem, use clmvs1 24970 together with cvsclm 25003 instead. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vciOLD.1 ๐บ = (1st โ€˜๐‘Š)
vciOLD.2 ๐‘† = (2nd โ€˜๐‘Š)
vciOLD.3 ๐‘‹ = ran ๐บ
Assertion
Ref Expression
vcidOLD ((๐‘Š โˆˆ CVecOLD โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (1๐‘†๐ด) = ๐ด)

Proof of Theorem vcidOLD
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vciOLD.1 . . . 4 ๐บ = (1st โ€˜๐‘Š)
2 vciOLD.2 . . . 4 ๐‘† = (2nd โ€˜๐‘Š)
3 vciOLD.3 . . . 4 ๐‘‹ = ran ๐บ
41, 2, 3vciOLD 30318 . . 3 (๐‘Š โˆˆ CVecOLD โ†’ (๐บ โˆˆ AbelOp โˆง ๐‘†:(โ„‚ ร— ๐‘‹)โŸถ๐‘‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ((1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))))))
5 simpl 482 . . . . 5 (((1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ))))) โ†’ (1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
65ralimi 3077 . . . 4 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ((1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ))))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
763ad2ant3 1132 . . 3 ((๐บ โˆˆ AbelOp โˆง ๐‘†:(โ„‚ ร— ๐‘‹)โŸถ๐‘‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ((1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ฅ๐บ๐‘ง)) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ฆ๐‘†๐‘ง)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ๐‘†๐‘ฅ)๐บ(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง)๐‘†๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐‘†(๐‘ง๐‘†๐‘ฅ)))))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
84, 7syl 17 . 2 (๐‘Š โˆˆ CVecOLD โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
9 oveq2 7412 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (1๐‘†๐‘ฅ) = (1๐‘†๐ด))
10 id 22 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ๐‘ฅ = ๐ด)
119, 10eqeq12d 2742 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (1๐‘†๐ด) = ๐ด))
1211rspccva 3605 . 2 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (1๐‘†๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (1๐‘†๐ด) = ๐ด)
138, 12sylan 579 1 ((๐‘Š โˆˆ CVecOLD โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (1๐‘†๐ด) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055   ร— cxp 5667  ran crn 5670  โŸถwf 6532  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970  โ„‚cc 11107  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114  AbelOpcablo 30301  CVecOLDcvc 30315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7407  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-vc 30316
This theorem is referenced by:  vc2OLD  30325  vc0  30331  vcm  30333  nvsid  30384
  Copyright terms: Public domain W3C validator