Theorem vc0 31158

Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
vc0.1	⊢ 𝐺 = (1st ‘𝑊)
vc0.2	⊢ 𝑆 = (2nd ‘𝑊)
vc0.3	⊢ 𝑋 = ran 𝐺
vc0.4	⊢ 𝑍 = (GId‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vc0	⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem vc0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vc0.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (1st ‘𝑊)
2		vc0.3	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
3		vc0.4	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (GId‘𝐺)
4	1, 2, 3	vc0rid 31157	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)
5		1p0e1 12446	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
6	5	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ ((1 + 0)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
7		0cn 11279	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
8		ax-1cn 11239	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		vc0.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (2nd ‘𝑊)
10	1, 9, 2	vcdir 31150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
11	8, 10	mp3anr1 1487	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
12	7, 11	mpanr1 716	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
13	1, 9, 2	vcidOLD 31148	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
14	6, 12, 13	3eqtr3a 2820	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)) = 𝐴)
15	13	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺(0𝑆𝐴)))
16	4, 14, 15	3eqtr2rd 2803	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍))
17	1, 9, 2	vccl 31147	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
18	7, 17	mp3an2 1478	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
19	1, 2, 3	vczcl 31156	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ CVecOLD → 𝑍 ∈ 𝑋)
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑍 ∈ 𝑋)
21		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
22	18, 20, 21	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((0𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
23	1, 2	vclcan 31155	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ ((0𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍) ↔ (0𝑆𝐴) = 𝑍))
24	22, 23	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍) ↔ (0𝑆𝐴) = 𝑍))
25	16, 24	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ran crn 5652  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  1^st c1st 7988  2^nd c2nd 7989  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184  GIdcgi 31074  CVec_OLDcvc 31142

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-grpo 31077  df-gid 31078  df-ginv 31079  df-ablo 31129  df-vc 31143

This theorem is used by:  vcz  31159  vcm  31160  nv0  31221