Theorem vc0 30593

Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
vc0.1	⊢ 𝐺 = (1st ‘𝑊)
vc0.2	⊢ 𝑆 = (2nd ‘𝑊)
vc0.3	⊢ 𝑋 = ran 𝐺
vc0.4	⊢ 𝑍 = (GId‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vc0	⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem vc0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vc0.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (1st ‘𝑊)
2		vc0.3	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
3		vc0.4	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (GId‘𝐺)
4	1, 2, 3	vc0rid 30592	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)
5		1p0e1 12390	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
6	5	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((1 + 0)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
7		0cn 11253	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
8		ax-1cn 11213	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		vc0.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (2nd ‘𝑊)
10	1, 9, 2	vcdir 30585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
11	8, 10	mp3anr1 1460	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
12	7, 11	mpanr1 703	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
13	1, 9, 2	vcidOLD 30583	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
14	6, 12, 13	3eqtr3a 2801	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)) = 𝐴)
15	13	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺(0𝑆𝐴)))
16	4, 14, 15	3eqtr2rd 2784	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍))
17	1, 9, 2	vccl 30582	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
18	7, 17	mp3an2 1451	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
19	1, 2, 3	vczcl 30591	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ CVecOLD → 𝑍 ∈ 𝑋)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑍 ∈ 𝑋)
21		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
22	18, 20, 21	3jca 1129	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((0𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
23	1, 2	vclcan 30590	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ ((0𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍) ↔ (0𝑆𝐴) = 𝑍))
24	22, 23	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍) ↔ (0𝑆𝐴) = 𝑍))
25	16, 24	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1^st c1st 8012  2^nd c2nd 8013  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  GIdcgi 30509  CVec_OLDcvc 30577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-ablo 30564  df-vc 30578

This theorem is referenced by:  vcz  30594  vcm  30595  nv0  30656