MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vc0 29865
Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vc0.1 𝐺 = (1st𝑊)
vc0.2 𝑆 = (2nd𝑊)
vc0.3 𝑋 = ran 𝐺
vc0.4 𝑍 = (GId‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vc0 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem vc0
StepHypRef Expression
1 vc0.1 . . . 4 𝐺 = (1st𝑊)
2 vc0.3 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
3 vc0.4 . . . 4 𝑍 = (GId‘𝐺)
41, 2, 3vc0rid 29864 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)
5 1p0e1 12338 . . . . 5 (1 + 0) = 1
65oveq1i 7421 . . . 4 ((1 + 0)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
7 0cn 11208 . . . . 5 0 ∈ ℂ
8 ax-1cn 11170 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
9 vc0.2 . . . . . . 7 𝑆 = (2nd𝑊)
101, 9, 2vcdir 29857 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
118, 10mp3anr1 1458 . . . . 5 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
127, 11mpanr1 701 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
131, 9, 2vcidOLD 29855 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
146, 12, 133eqtr3a 2796 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)) = 𝐴)
1513oveq1d 7426 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺(0𝑆𝐴)))
164, 14, 153eqtr2rd 2779 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍))
171, 9, 2vccl 29854 . . . . 5 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
187, 17mp3an2 1449 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
191, 2, 3vczcl 29863 . . . . 5 (𝑊 ∈ CVecOLD𝑍𝑋)
2019adantr 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → 𝑍𝑋)
21 simpr 485 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
2218, 20, 213jca 1128 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((0𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝐴𝑋))
231, 2vclcan 29862 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ ((0𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍) ↔ (0𝑆𝐴) = 𝑍))
2422, 23syldan 591 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍) ↔ (0𝑆𝐴) = 𝑍))
2516, 24mpbid 231 1 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  ran crn 5677  cfv 6543  (class class class)co 7411  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976  cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  GIdcgi 29781  CVecOLDcvc 29849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-ltxr 11255  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-ablo 29836  df-vc 29850
This theorem is referenced by:  vcz  29866  vcm  29867  nv0  29928
  Copyright terms: Public domain W3C validator