Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vc0 28335
 Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vc0.1 𝐺 = (1st𝑊)
vc0.2 𝑆 = (2nd𝑊)
vc0.3 𝑋 = ran 𝐺
vc0.4 𝑍 = (GId‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vc0 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem vc0
StepHypRef Expression
1 vc0.1 . . . 4 𝐺 = (1st𝑊)
2 vc0.3 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
3 vc0.4 . . . 4 𝑍 = (GId‘𝐺)
41, 2, 3vc0rid 28334 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)
5 1p0e1 11739 . . . . 5 (1 + 0) = 1
65oveq1i 7140 . . . 4 ((1 + 0)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
7 0cn 10610 . . . . 5 0 ∈ ℂ
8 ax-1cn 10572 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
9 vc0.2 . . . . . . 7 𝑆 = (2nd𝑊)
101, 9, 2vcdir 28327 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
118, 10mp3anr1 1455 . . . . 5 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
127, 11mpanr1 702 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
131, 9, 2vcidOLD 28325 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
146, 12, 133eqtr3a 2880 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)) = 𝐴)
1513oveq1d 7145 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺(0𝑆𝐴)))
164, 14, 153eqtr2rd 2863 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍))
171, 9, 2vccl 28324 . . . . 5 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
187, 17mp3an2 1446 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
191, 2, 3vczcl 28333 . . . . 5 (𝑊 ∈ CVecOLD𝑍𝑋)
2019adantr 484 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → 𝑍𝑋)
21 simpr 488 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
2218, 20, 213jca 1125 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((0𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝐴𝑋))
231, 2vclcan 28332 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ ((0𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍) ↔ (0𝑆𝐴) = 𝑍))
2422, 23syldan 594 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍) ↔ (0𝑆𝐴) = 𝑍))
2516, 24mpbid 235 1 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ran crn 5529  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  1st c1st 7662  2nd c2nd 7663  ℂcc 10512  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517  GIdcgi 28251  CVecOLDcvc 28319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-ltxr 10657  df-grpo 28254  df-gid 28255  df-ginv 28256  df-ablo 28306  df-vc 28320 This theorem is referenced by:  vcz  28336  vcm  28337  nv0  28398
 Copyright terms: Public domain W3C validator