Theorem vc0 30670

Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
vc0.1	⊢ 𝐺 = (1st ‘𝑊)
vc0.2	⊢ 𝑆 = (2nd ‘𝑊)
vc0.3	⊢ 𝑋 = ran 𝐺
vc0.4	⊢ 𝑍 = (GId‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vc0	⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem vc0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vc0.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (1st ‘𝑊)
2		vc0.3	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
3		vc0.4	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (GId‘𝐺)
4	1, 2, 3	vc0rid 30669	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)
5		1p0e1 12298	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
6	5	oveq1i 7373	. . . 4 ⊢ ((1 + 0)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
7		0cn 11134	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
8		ax-1cn 11094	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		vc0.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (2nd ‘𝑊)
10	1, 9, 2	vcdir 30662	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
11	8, 10	mp3anr1 1466	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
12	7, 11	mpanr1 709	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
13	1, 9, 2	vcidOLD 30660	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
14	6, 12, 13	3eqtr3a 2799	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)) = 𝐴)
15	13	oveq1d 7378	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺(0𝑆𝐴)))
16	4, 14, 15	3eqtr2rd 2782	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍))
17	1, 9, 2	vccl 30659	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
18	7, 17	mp3an2 1457	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
19	1, 2, 3	vczcl 30668	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ CVecOLD → 𝑍 ∈ 𝑋)
20	19	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑍 ∈ 𝑋)
21		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
22	18, 20, 21	3jca 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((0𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
23	1, 2	vclcan 30667	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ ((0𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍) ↔ (0𝑆𝐴) = 𝑍))
24	22, 23	syldan 597	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍) ↔ (0𝑆𝐴) = 𝑍))
25	16, 24	mpbid 233	1 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ran crn 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  1^st c1st 7936  2^nd c2nd 7937  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039  GIdcgi 30586  CVec_OLDcvc 30654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-grpo 30589  df-gid 30590  df-ginv 30591  df-ablo 30641  df-vc 30655

This theorem is referenced by:  vcz  30671  vcm  30672  nv0  30733