MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vc0 30603
Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vc0.1 𝐺 = (1st𝑊)
vc0.2 𝑆 = (2nd𝑊)
vc0.3 𝑋 = ran 𝐺
vc0.4 𝑍 = (GId‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vc0 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem vc0
StepHypRef Expression
1 vc0.1 . . . 4 𝐺 = (1st𝑊)
2 vc0.3 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
3 vc0.4 . . . 4 𝑍 = (GId‘𝐺)
41, 2, 3vc0rid 30602 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)
5 1p0e1 12388 . . . . 5 (1 + 0) = 1
65oveq1i 7441 . . . 4 ((1 + 0)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
7 0cn 11251 . . . . 5 0 ∈ ℂ
8 ax-1cn 11211 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
9 vc0.2 . . . . . . 7 𝑆 = (2nd𝑊)
101, 9, 2vcdir 30595 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
118, 10mp3anr1 1457 . . . . 5 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
127, 11mpanr1 703 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
131, 9, 2vcidOLD 30593 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
146, 12, 133eqtr3a 2799 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)) = 𝐴)
1513oveq1d 7446 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺(0𝑆𝐴)))
164, 14, 153eqtr2rd 2782 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍))
171, 9, 2vccl 30592 . . . . 5 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
187, 17mp3an2 1448 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
191, 2, 3vczcl 30601 . . . . 5 (𝑊 ∈ CVecOLD𝑍𝑋)
2019adantr 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → 𝑍𝑋)
21 simpr 484 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
2218, 20, 213jca 1127 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((0𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝐴𝑋))
231, 2vclcan 30600 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ ((0𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍) ↔ (0𝑆𝐴) = 𝑍))
2422, 23syldan 591 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍) ↔ (0𝑆𝐴) = 𝑍))
2516, 24mpbid 232 1 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  1st c1st 8011  2nd c2nd 8012  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  GIdcgi 30519  CVecOLDcvc 30587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-ablo 30574  df-vc 30588
This theorem is referenced by:  vcz  30604  vcm  30605  nv0  30666
  Copyright terms: Public domain W3C validator