Theorem vc0 30963

Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
vc0.1	⊢ 𝐺 = (1st ‘𝑊)
vc0.2	⊢ 𝑆 = (2nd ‘𝑊)
vc0.3	⊢ 𝑋 = ran 𝐺
vc0.4	⊢ 𝑍 = (GId‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vc0	⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem vc0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vc0.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (1st ‘𝑊)
2		vc0.3	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
3		vc0.4	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (GId‘𝐺)
4	1, 2, 3	vc0rid 30962	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)
5		1p0e1 12381	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
6	5	oveq1i 7433	. . . 4 ⊢ ((1 + 0)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
7		0cn 11216	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
8		ax-1cn 11176	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		vc0.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (2nd ‘𝑊)
10	1, 9, 2	vcdir 30955	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
11	8, 10	mp3anr1 1487	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
12	7, 11	mpanr1 716	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
13	1, 9, 2	vcidOLD 30953	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
14	6, 12, 13	3eqtr3a 2825	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)) = 𝐴)
15	13	oveq1d 7438	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺(0𝑆𝐴)))
16	4, 14, 15	3eqtr2rd 2808	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍))
17	1, 9, 2	vccl 30952	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
18	7, 17	mp3an2 1478	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
19	1, 2, 3	vczcl 30961	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ CVecOLD → 𝑍 ∈ 𝑋)
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑍 ∈ 𝑋)
21		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
22	18, 20, 21	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((0𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
23	1, 2	vclcan 30960	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ ((0𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍) ↔ (0𝑆𝐴) = 𝑍))
24	22, 23	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍) ↔ (0𝑆𝐴) = 𝑍))
25	16, 24	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ran crn 5667  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  1^st c1st 7993  2^nd c2nd 7994  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121  GIdcgi 30879  CVec_OLDcvc 30947

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-grpo 30882  df-gid 30883  df-ginv 30884  df-ablo 30934  df-vc 30948

This theorem is used by:  vcz  30964  vcm  30965  nv0  31026