MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vc0 29805
Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vc0.1 𝐺 = (1st𝑊)
vc0.2 𝑆 = (2nd𝑊)
vc0.3 𝑋 = ran 𝐺
vc0.4 𝑍 = (GId‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vc0 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem vc0
StepHypRef Expression
1 vc0.1 . . . 4 𝐺 = (1st𝑊)
2 vc0.3 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
3 vc0.4 . . . 4 𝑍 = (GId‘𝐺)
41, 2, 3vc0rid 29804 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)
5 1p0e1 12332 . . . . 5 (1 + 0) = 1
65oveq1i 7414 . . . 4 ((1 + 0)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
7 0cn 11202 . . . . 5 0 ∈ ℂ
8 ax-1cn 11164 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
9 vc0.2 . . . . . . 7 𝑆 = (2nd𝑊)
101, 9, 2vcdir 29797 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
118, 10mp3anr1 1459 . . . . 5 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
127, 11mpanr1 702 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
131, 9, 2vcidOLD 29795 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
146, 12, 133eqtr3a 2797 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)) = 𝐴)
1513oveq1d 7419 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺(0𝑆𝐴)))
164, 14, 153eqtr2rd 2780 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍))
171, 9, 2vccl 29794 . . . . 5 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
187, 17mp3an2 1450 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
191, 2, 3vczcl 29803 . . . . 5 (𝑊 ∈ CVecOLD𝑍𝑋)
2019adantr 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → 𝑍𝑋)
21 simpr 486 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
2218, 20, 213jca 1129 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((0𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝐴𝑋))
231, 2vclcan 29802 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ ((0𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍) ↔ (0𝑆𝐴) = 𝑍))
2422, 23syldan 592 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍) ↔ (0𝑆𝐴) = 𝑍))
2516, 24mpbid 231 1 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  ran crn 5676  cfv 6540  (class class class)co 7404  1st c1st 7968  2nd c2nd 7969  cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  GIdcgi 29721  CVecOLDcvc 29789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ginv 29726  df-ablo 29776  df-vc 29790
This theorem is referenced by:  vcz  29806  vcm  29807  nv0  29868
  Copyright terms: Public domain W3C validator