Theorem wunsets 17117

Description: Closure of structure replacement in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wunsets.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunsets.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
wunsets.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunsets	⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunsets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunsets.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
2		wunsets.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3		setsvalg 17106	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
5		wunsets.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
6	5, 1	wunres 10725	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ 𝑈)
7	5, 2	wunsn 10710	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ 𝑈)
8	5, 6, 7	wunun 10704	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ 𝑈)
9	4, 8	eqeltrd 2827	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∖ cdif 3940   ∪ cun 3941  {csn 4623  dom cdm 5669   ↾ cres 5671  (class class class)co 7404  WUnicwun 10694   sSet csts 17103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-res 5681  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-wun 10696  df-sets 17104

This theorem is referenced by:  wunress  17202  wunressOLD  17203  catcoppccl  18077  catcoppcclOLD  18078