MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunsets Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunsets 17108
Description: Closure of structure replacement in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wunsets.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wunsets.2 (𝜑𝑆𝑈)
wunsets.3 (𝜑𝐴𝑈)
Assertion
Ref Expression
wunsets (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunsets
StepHypRef Expression
1 wunsets.2 . . 3 (𝜑𝑆𝑈)
2 wunsets.3 . . 3 (𝜑𝐴𝑈)
3 setsvalg 17097 . . 3 ((𝑆𝑈𝐴𝑈) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
41, 2, 3syl2anc 583 . 2 (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
5 wunsets.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
65, 1wunres 10721 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ 𝑈)
75, 2wunsn 10706 . . 3 (𝜑 → {𝐴} ∈ 𝑈)
85, 6, 7wunun 10700 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ 𝑈)
94, 8eqeltrd 2825 1 (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  cdif 3937  cun 3938  {csn 4620  dom cdm 5666  cres 5668  (class class class)co 7401  WUnicwun 10690   sSet csts 17094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-tr 5256  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-res 5678  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-wun 10692  df-sets 17095
This theorem is referenced by:  wunress  17193  wunressOLD  17194  catcoppccl  18068  catcoppcclOLD  18069
  Copyright terms: Public domain W3C validator