MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunsets Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunsets 16378
Description: Closure of structure replacement in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wunsets.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wunsets.2 (𝜑𝑆𝑈)
wunsets.3 (𝜑𝐴𝑈)
Assertion
Ref Expression
wunsets (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunsets
StepHypRef Expression
1 wunsets.2 . . 3 (𝜑𝑆𝑈)
2 wunsets.3 . . 3 (𝜑𝐴𝑈)
3 setsvalg 16366 . . 3 ((𝑆𝑈𝐴𝑈) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
41, 2, 3syl2anc 576 . 2 (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
5 wunsets.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
65, 1wunres 9949 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ 𝑈)
75, 2wunsn 9934 . . 3 (𝜑 → {𝐴} ∈ 𝑈)
85, 6, 7wunun 9928 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ 𝑈)
94, 8eqeltrd 2859 1 (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1508  wcel 2051  Vcvv 3408  cdif 3819  cun 3820  {csn 4435  dom cdm 5403  cres 5405  (class class class)co 6974  WUnicwun 9918   sSet csts 16335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-tr 5027  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-res 5415  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-wun 9920  df-sets 16344
This theorem is referenced by:  wunress  16418  catcoppccl  17238
  Copyright terms: Public domain W3C validator