MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunsets Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunsets 17057
Description: Closure of structure replacement in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wunsets.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wunsets.2 (𝜑𝑆𝑈)
wunsets.3 (𝜑𝐴𝑈)
Assertion
Ref Expression
wunsets (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunsets
StepHypRef Expression
1 wunsets.2 . . 3 (𝜑𝑆𝑈)
2 wunsets.3 . . 3 (𝜑𝐴𝑈)
3 setsvalg 17046 . . 3 ((𝑆𝑈𝐴𝑈) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
41, 2, 3syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
5 wunsets.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
65, 1wunres 10675 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ 𝑈)
75, 2wunsn 10660 . . 3 (𝜑 → {𝐴} ∈ 𝑈)
85, 6, 7wunun 10654 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ 𝑈)
94, 8eqeltrd 2834 1 (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  cdif 3911  cun 3912  {csn 4590  dom cdm 5637  cres 5639  (class class class)co 7361  WUnicwun 10644   sSet csts 17043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-tr 5227  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-res 5649  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-wun 10646  df-sets 17044
This theorem is referenced by:  wunress  17139  wunressOLD  17140  catcoppccl  18011  catcoppcclOLD  18012
  Copyright terms: Public domain W3C validator