Theorem wunsets 17224

Description: Closure of structure replacement in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wunsets.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunsets.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
wunsets.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunsets	⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunsets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunsets.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
2		wunsets.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3		setsvalg 17213	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
5		wunsets.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
6	5, 1	wunres 10800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ 𝑈)
7	5, 2	wunsn 10785	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ 𝑈)
8	5, 6, 7	wunun 10779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ 𝑈)
9	4, 8	eqeltrd 2844	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974  {csn 4648  dom cdm 5700   ↾ cres 5702  (class class class)co 7448  WUnicwun 10769   sSet csts 17210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-res 5712  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-wun 10771  df-sets 17211

This theorem is referenced by:  wunress  17309  wunressOLD  17310  catcoppccl  18184  catcoppcclOLD  18185