Theorem wunsets 17214

Description: Closure of structure replacement in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wunsets.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunsets.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
wunsets.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunsets	⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunsets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunsets.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
2		wunsets.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3		setsvalg 17203	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
4	1, 2, 3	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
5		wunsets.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
6	5, 1	wunres 10690	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ 𝑈)
7	5, 2	wunsn 10675	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ 𝑈)
8	5, 6, 7	wunun 10669	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ 𝑈)
9	4, 8	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903  {csn 4583  dom cdm 5648   ↾ cres 5650  (class class class)co 7397  WUnicwun 10659   sSet csts 17200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-tr 5209  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-res 5660  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fv 6530  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-wun 10661  df-sets 17201

This theorem is referenced by:  wunress  17286  catcoppccl  18151