Theorem wunsets 17153

Description: Closure of structure replacement in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wunsets.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunsets.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
wunsets.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunsets	⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunsets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunsets.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
2		wunsets.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3		setsvalg 17142	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
4	1, 2, 3	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
5		wunsets.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
6	5, 1	wunres 10762	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ 𝑈)
7	5, 2	wunsn 10747	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ 𝑈)
8	5, 6, 7	wunun 10741	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ 𝑈)
9	4, 8	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ∖ cdif 3946   ∪ cun 3947  {csn 4632  dom cdm 5682   ↾ cres 5684  (class class class)co 7426  WUnicwun 10731   sSet csts 17139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-tr 5270  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-res 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-wun 10733  df-sets 17140

This theorem is referenced by:  wunress  17238  wunressOLD  17239  catcoppccl  18113  catcoppcclOLD  18114