MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunsets Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunsets 17211
Description: Closure of structure replacement in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wunsets.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wunsets.2 (𝜑𝑆𝑈)
wunsets.3 (𝜑𝐴𝑈)
Assertion
Ref Expression
wunsets (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunsets
StepHypRef Expression
1 wunsets.2 . . 3 (𝜑𝑆𝑈)
2 wunsets.3 . . 3 (𝜑𝐴𝑈)
3 setsvalg 17200 . . 3 ((𝑆𝑈𝐴𝑈) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
41, 2, 3syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
5 wunsets.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
65, 1wunres 10769 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ 𝑈)
75, 2wunsn 10754 . . 3 (𝜑 → {𝐴} ∈ 𝑈)
85, 6, 7wunun 10748 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ 𝑈)
94, 8eqeltrd 2839 1 (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  {csn 4631  dom cdm 5689  cres 5691  (class class class)co 7431  WUnicwun 10738   sSet csts 17197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-res 5701  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-wun 10740  df-sets 17198
This theorem is referenced by:  wunress  17296  wunressOLD  17297  catcoppccl  18171  catcoppcclOLD  18172
  Copyright terms: Public domain W3C validator