Theorem wunsets 17291

Description: Closure of structure replacement in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wunsets.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunsets.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
wunsets.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunsets	⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunsets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunsets.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
2		wunsets.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3		setsvalg 17280	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
5		wunsets.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
6	5, 1	wunres 10762	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ 𝑈)
7	5, 2	wunsn 10747	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ 𝑈)
8	5, 6, 7	wunun 10741	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ 𝑈)
9	4, 8	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet 𝐴) ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897  {csn 4584  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  (class class class)co 7415  WUnicwun 10731   sSet csts 17277

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-res 5667  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fv 6542  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-wun 10733  df-sets 17278

This theorem is used by:  wunress  17363  catcoppccl  18228