Theorem setsres 16879

Description: The structure replacement function does not affect the value of 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
setsres	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))

Proof of Theorem setsres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5379	. . . 4 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
2		setsvalg 16867	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
3	1, 2	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
4	3	reseq1d 5890	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})))
5		resundir 5906	. . 3 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})))
6		dmsnopss 6117	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} ⊆ {𝐴}
7		sscon 4073	. . . . . . 7 ⊢ (dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} ⊆ {𝐴} → (V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})
9		resabs1 5921	. . . . . 6 ⊢ ((V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
11		dmres 5913	. . . . . . 7 ⊢ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ((V ∖ {𝐴}) ∩ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})
12		disj2 4391	. . . . . . . 8 ⊢ (((V ∖ {𝐴}) ∩ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ∅ ↔ (V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
13	8, 12	mpbir 230	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∖ {𝐴}) ∩ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ∅
14	11, 13	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅
15		relres 5920	. . . . . . 7 ⊢ Rel ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))
16		reldm0 5837	. . . . . . 7 ⊢ (Rel ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅ ↔ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅ ↔ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅)
18	14, 17	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅
19	10, 18	uneq12i 4095	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ∅)
20		un0 4324	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ∅) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
21	19, 20	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
22	5, 21	eqtri 2766	. 2 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
23	4, 22	eqtrdi 2794	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561  ⟨cop 4567  dom cdm 5589   ↾ cres 5591  Rel wrel 5594  (class class class)co 7275   sSet csts 16864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-res 5601  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-sets 16865

This theorem is referenced by:  setsabs  16880  setsnid  16910  setsnidOLD  16911  mdetunilem9  21769