Theorem setsres 16707

Description: The structure replacement function does not affect the value of 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
setsres	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))

Proof of Theorem setsres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5333	. . . 4 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
2		setsvalg 16694	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
4	3	reseq1d 5835	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})))
5		resundir 5851	. . 3 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})))
6		dmsnopss 6057	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} ⊆ {𝐴}
7		sscon 4039	. . . . . . 7 ⊢ (dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} ⊆ {𝐴} → (V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})
9		resabs1 5866	. . . . . 6 ⊢ ((V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
11		dmres 5858	. . . . . . 7 ⊢ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ((V ∖ {𝐴}) ∩ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})
12		disj2 4358	. . . . . . . 8 ⊢ (((V ∖ {𝐴}) ∩ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ∅ ↔ (V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
13	8, 12	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∖ {𝐴}) ∩ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ∅
14	11, 13	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅
15		relres 5865	. . . . . . 7 ⊢ Rel ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))
16		reldm0 5782	. . . . . . 7 ⊢ (Rel ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅ ↔ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅ ↔ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅)
18	14, 17	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅
19	10, 18	uneq12i 4061	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ∅)
20		un0 4291	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ∅) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
21	19, 20	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
22	5, 21	eqtri 2759	. 2 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
23	4, 22	eqtrdi 2787	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  Vcvv 3398   ∖ cdif 3850   ∪ cun 3851   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853  ∅c0 4223  {csn 4527  ⟨cop 4533  dom cdm 5536   ↾ cres 5538  Rel wrel 5541  (class class class)co 7191   sSet csts 16664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-res 5548  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-sets 16673

This theorem is referenced by:  setsabs  16708  setsnid  16720  mdetunilem9  21471