Theorem setsres 17202

Description: The structure replacement function does not affect the value of 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
setsres	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))

Proof of Theorem setsres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5444	. . . 4 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
2		setsvalg 17190	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
4	3	reseq1d 5970	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})))
5		resundir 5986	. . 3 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})))
6		dmsnopss 6208	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} ⊆ {𝐴}
7		sscon 4123	. . . . . . 7 ⊢ (dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} ⊆ {𝐴} → (V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})
9		resabs1 5998	. . . . . 6 ⊢ ((V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
11		dmres 6004	. . . . . . 7 ⊢ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ((V ∖ {𝐴}) ∩ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})
12		disj2 4438	. . . . . . . 8 ⊢ (((V ∖ {𝐴}) ∩ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ∅ ↔ (V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
13	8, 12	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∖ {𝐴}) ∩ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ∅
14	11, 13	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅
15		relres 5997	. . . . . . 7 ⊢ Rel ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))
16		reldm0 5912	. . . . . . 7 ⊢ (Rel ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅ ↔ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅ ↔ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅)
18	14, 17	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅
19	10, 18	uneq12i 4146	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ∅)
20		un0 4374	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ∅) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
21	19, 20	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
22	5, 21	eqtri 2759	. 2 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
23	4, 22	eqtrdi 2787	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928   ∪ cun 3929   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  {csn 4606  ⟨cop 4612  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  Rel wrel 5664  (class class class)co 7410   sSet csts 17187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-res 5671  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-sets 17188

This theorem is referenced by:  setsabs  17203  setsnid  17232  mdetunilem9  22563