Theorem setsvalg 17353

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
setsvalg	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))

Proof of Theorem setsvalg

Dummy variables 𝑒 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3471	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
2		elex 3471	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ V)
3		resexg 6018	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ V)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ V)
5		snex 5397	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
6		unexg 7764	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ V)
7	4, 5, 6	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ V)
8		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → 𝑠 = 𝑆)
9		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → 𝑒 = 𝐴)
10	9	sneqd 4592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → {𝑒} = {𝐴})
11	10	dmeqd 5888	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → dom {𝑒} = dom {𝐴})
12	11	difeq2d 4062	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → (V ∖ dom {𝑒}) = (V ∖ dom {𝐴}))
13	8, 12	reseq12d 5972	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → (𝑠 ↾ (V ∖ dom {𝑒})) = (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})))
14	13, 10	uneq12d 4167	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → ((𝑠 ↾ (V ∖ dom {𝑒})) ∪ {𝑒}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
15		df-sets 17351	. . . 4 ⊢ sSet = (𝑠 ∈ V, 𝑒 ∈ V ↦ ((𝑠 ↾ (V ∖ dom {𝑒})) ∪ {𝑒}))
16	14, 15	ovmpoga 7578	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ V) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
17	7, 16	mpd3an3 1491	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
18	1, 2, 17	syl2an 608	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∖ cdif 4044   ∪ cun 4148  {csn 4584  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  (class class class)co 7424   sSet csts 17350

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-res 5663  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-sets 17351

This theorem is used by:  setsval  17354  setsdm  17357  setsfun  17358  setsfun0  17359  wunsets  17364  setsres  17365