Theorem 1idssfct 12283

Description: The positive divisors of a positive integer include 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
1idssfct	|- ( N e. NN -> { 1 , N } C_ { n e. NN | n || N } )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem 1idssfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9001	. . 3 |- 1 e. NN
2		nnz 9345	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3		1dvds 11970	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 || N )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 || N )
5		breq1 4036	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( n || N <-> 1 || N ) )
6	5	elrab 2920	. . . 4 |- ( 1 e. { n e. NN | n || N } <-> ( 1 e. NN /\ 1 || N ) )
7	6	biimpri 133	. . 3 |- ( ( 1 e. NN /\ 1 || N ) -> 1 e. { n e. NN | n || N } )
8	1, 4, 7	sylancr 414	. 2 |- ( N e. NN -> 1 e. { n e. NN | n || N } )
9		iddvds 11969	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N || N )
10	2, 9	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> N || N )
11		breq1 4036	. . . . 5 |- ( n = N -> ( n || N <-> N || N ) )
12	11	elrab 2920	. . . 4 |- ( N e. { n e. NN | n || N } <-> ( N e. NN /\ N || N ) )
13	12	biimpri 133	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ N || N ) -> N e. { n e. NN | n || N } )
14	10, 13	mpdan 421	. 2 |- ( N e. NN -> N e. { n e. NN | n || N } )
15		prssi 3780	. 2 |- ( ( 1 e. { n e. NN | n || N } /\ N e. { n e. NN | n || N } ) -> { 1 , N } C_ { n e. NN | n || N } )
16	8, 14, 15	syl2anc 411	1 |- ( N e. NN -> { 1 , N } C_ { n e. NN | n || N } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   {crab 2479   C_ wss 3157   {cpr 3623   class class class wbr 4033   1c1 7880   NNcn 8990   ZZcz 9326   || cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-z 9327  df-dvds 11953

This theorem is referenced by:  isprm2  12285