Theorem 1idssfct 12893

Description: The positive divisors of a positive integer include 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
1idssfct	|- ( N e. NN -> { 1 , N } C_ { n e. NN | n || N } )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem 1idssfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9315	. . 3 |- 1 e. NN
2		nnz 9663	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3		1dvds 12572	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 || N )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 || N )
5		breq1 4133	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( n || N <-> 1 || N ) )
6	5	elrab 2982	. . . 4 |- ( 1 e. { n e. NN | n || N } <-> ( 1 e. NN /\ 1 || N ) )
7	6	biimpri 133	. . 3 |- ( ( 1 e. NN /\ 1 || N ) -> 1 e. { n e. NN | n || N } )
8	1, 4, 7	sylancr 418	. 2 |- ( N e. NN -> 1 e. { n e. NN | n || N } )
9		iddvds 12571	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N || N )
10	2, 9	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> N || N )
11		breq1 4133	. . . . 5 |- ( n = N -> ( n || N <-> N || N ) )
12	11	elrab 2982	. . . 4 |- ( N e. { n e. NN | n || N } <-> ( N e. NN /\ N || N ) )
13	12	biimpri 133	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ N || N ) -> N e. { n e. NN | n || N } )
14	10, 13	mpdan 425	. 2 |- ( N e. NN -> N e. { n e. NN | n || N } )
15		prssi 3873	. 2 |- ( ( 1 e. { n e. NN | n || N } /\ N e. { n e. NN | n || N } ) -> { 1 , N } C_ { n e. NN | n || N } )
16	8, 14, 15	syl2anc 415	1 |- ( N e. NN -> { 1 , N } C_ { n e. NN | n || N } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   {crab 2532   C_ wss 3220   {cpr 3710   class class class wbr 4130   1c1 8180   NNcn 9304   ZZcz 9644   || cdvds 12554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-z 9645  df-dvds 12555

This theorem is used by:  isprm2  12895