Theorem 1idssfct 12069

Description: The positive divisors of a positive integer include 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
1idssfct	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem 1idssfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 8889	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnz 9231	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1dvds 11767	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑁)
5		breq1 3992	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑁 ↔ 1 ∥ 𝑁))
6	5	elrab 2886	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁} ↔ (1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁))
7	6	biimpri 132	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁) → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
8	1, 4, 7	sylancr 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
9		iddvds 11766	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
10	2, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∥ 𝑁)
11		breq1 3992	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
12	11	elrab 2886	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁} ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑁))
13	12	biimpri 132	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
14	10, 13	mpdan 419	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
15		prssi 3738	. 2 ⊢ ((1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁}) → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
16	8, 14, 15	syl2anc 409	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141  {crab 2452   ⊆ wss 3121  {cpr 3584   class class class wbr 3989  1c1 7775  ℕcn 8878  ℤcz 9212   ∥ cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-z 9213  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  isprm2  12071