ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1idssfct GIF version

Theorem 1idssfct 12056
Description: The positive divisors of a positive integer include 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
1idssfct (𝑁 ∈ ℕ → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem 1idssfct
StepHypRef Expression
1 1nn 8876 . . 3 1 ∈ ℕ
2 nnz 9218 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3 1dvds 11754 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
42, 3syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑁)
5 breq1 3990 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑛𝑁 ↔ 1 ∥ 𝑁))
65elrab 2886 . . . 4 (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ↔ (1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁))
76biimpri 132 . . 3 ((1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁) → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
81, 4, 7sylancr 412 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
9 iddvds 11753 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
102, 9syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁𝑁)
11 breq1 3990 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝑁𝑁𝑁))
1211elrab 2886 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑁))
1312biimpri 132 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑁) → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
1410, 13mpdan 419 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
15 prssi 3736 . 2 ((1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁}) → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
168, 14, 15syl2anc 409 1 (𝑁 ∈ ℕ → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 2141  {crab 2452  wss 3121  {cpr 3582   class class class wbr 3987  1c1 7762  cn 8865  cz 9199  cdvds 11736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-z 9200  df-dvds 11737
This theorem is referenced by:  isprm2  12058
  Copyright terms: Public domain W3C validator