Theorem 1idssfct 10877

Description: The positive divisors of a positive integer include 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
1idssfct	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem 1idssfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 8327	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnz 8665	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1dvds 10590	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑁)
5		breq1 3814	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑁 ↔ 1 ∥ 𝑁))
6	5	elrab 2759	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁} ↔ (1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁))
7	6	biimpri 131	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁) → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
8	1, 4, 7	sylancr 405	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
9		iddvds 10589	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
10	2, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∥ 𝑁)
11		breq1 3814	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
12	11	elrab 2759	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁} ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑁))
13	12	biimpri 131	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
14	10, 13	mpdan 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
15		prssi 3569	. 2 ⊢ ((1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁}) → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
16	8, 14, 15	syl2anc 403	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1434  {crab 2357   ⊆ wss 2984  {cpr 3423   class class class wbr 3811  1c1 7254  ℕcn 8316  ℤcz 8646   ∥ cdvds 10576

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-ltadd 7364

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-z 8647  df-dvds 10577

This theorem is referenced by:  isprm2  10879