Theorem iddvds 12301

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	|- ( N e. ZZ -> N || N )

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9439	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2	1	mulid2d 8153	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 1 x. N ) = N )
3		1z 9460	. . . 4 |- 1 e. ZZ
4		dvds0lem 12298	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 x. N ) = N ) -> N || N )
5	3, 4	mp3anl1 1365	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 x. N ) = N ) -> N || N )
6	5	anabsan 575	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 1 x. N ) = N ) -> N || N )
7	2, 6	mpdan 421	1 |- ( N e. ZZ -> N || N )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994   1c1 7988   x. cmul 7992   ZZcz 9434   || cdvds 12284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-z 9435  df-dvds 12285

This theorem is referenced by:  dvdsadd  12333  dvds1  12350  dvdsext  12352  z2even  12411  n2dvds3  12412  gcd0id  12486  bezoutlemmo  12513  bezoutlemsup  12516  gcdzeq  12529  mulgcddvds  12602  1idssfct  12623  isprm2lem  12624  dvdsprime  12630  3prm  12636  dvdsprm  12645  exprmfct  12646  coprm  12652  isprm6  12655  pcidlem  12832  pcprmpw2  12842  pcprmpw  12843  znidomb  14607  sgmnncl  15647  perfect1  15657  perfectlem2  15659  2sqlem6  15784