Theorem isprm2 12895

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only positive divisors are 1 and itself. Definition in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )

Distinct variable group:   z, P

Proof of Theorem isprm2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nprm 12892	. . . . 5 |- -. 1 e. Prime
2		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( P = 1 -> ( P e. Prime <-> 1 e. Prime ) )
3	2	biimpcd 159	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( P = 1 -> 1 e. Prime ) )
4	1, 3	mtoi 674	. . . 4 |- ( P e. Prime -> -. P = 1 )
5	4	neqned 2427	. . 3 |- ( P e. Prime -> P =/= 1 )
6	5	pm4.71i 395	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. Prime /\ P =/= 1 ) )
7		isprm 12887	. . . 4 |- ( P e. Prime <-> ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) )
8		isprm2lem 12894	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )
9		eqss 3263	. . . . . . . . . . 11 |- ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } <-> ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } /\ { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) )
10	9	imbi2i 226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) <-> ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } /\ { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) ) )
11		1idssfct 12893	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN -> { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } )
12		jcab 611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } /\ { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) ) <-> ( ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ ( P e. NN -> { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) ) )
13	11, 12	mpbiran2 954	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } /\ { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) ) <-> ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
14	10, 13	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) <-> ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
15	14	pm5.74ri 181	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } <-> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } <-> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
17	8, 16	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
18	17	expcom 116	. . . . 5 |- ( P =/= 1 -> ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
19	18	pm5.32d 454	. . . 4 |- ( P =/= 1 -> ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) <-> ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
20	7, 19	bitrid 192	. . 3 |- ( P =/= 1 -> ( P e. Prime <-> ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
21	20	pm5.32ri 459	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ P =/= 1 ) <-> ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ P =/= 1 ) )
22		ancom 266	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ P =/= 1 ) <-> ( P =/= 1 /\ ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
23		anass 405	. . . 4 |- ( ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) <-> ( P =/= 1 /\ ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
24	22, 23	bitr4i 187	. . 3 |- ( ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ P =/= 1 ) <-> ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
25		ancom 266	. . . . 5 |- ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) <-> ( P e. NN /\ P =/= 1 ) )
26		eluz2b3 10004	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( P e. NN /\ P =/= 1 ) )
27	25, 26	bitr4i 187	. . . 4 |- ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) <-> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
28	27	anbi1i 462	. . 3 |- ( ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
29		ssalel 3235	. . . . 5 |- ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } <-> A. z ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) )
30		breq1 4133	. . . . . . . . . 10 |- ( n = z -> ( n || P <-> z || P ) )
31	30	elrab 2982	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { n e. NN | n || P } <-> ( z e. NN /\ z || P ) )
32		vex 2824	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
33	32	elpr 3730	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { 1 , P } <-> ( z = 1 \/ z = P ) )
34	31, 33	imbi12i 239	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) <-> ( ( z e. NN /\ z || P ) -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
35		impexp 263	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. NN /\ z || P ) -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
36	34, 35	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
37	36	albii 1523	. . . . . 6 |- ( A. z ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) <-> A. z ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
38		df-ral 2533	. . . . . 6 |- ( A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> A. z ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
39	37, 38	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) <-> A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
40	29, 39	bitri 184	. . . 4 |- ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } <-> A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
41	40	anbi2i 461	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
42	24, 28, 41	3bitri 206	. 2 |- ( ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ P =/= 1 ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
43	6, 21, 42	3bitri 206	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   {crab 2532   C_ wss 3220   {cpr 3710   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   2oc2o 6681   ~~ cen 7020   1c1 8180   NNcn 9304   2c2 9355   ZZ>=cuz 9921   || cdvds 12554   Primecprime 12885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-dvds 12555  df-prm 12886

This theorem is used by:  isprm3  12896  isprm4  12897  dvdsprime  12900  coprm  12922  isprm6  12925  infpn2  13347  znidomb  14993  perfectlem2  16114