ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isprm2 Unicode version

Theorem isprm2 11181
Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only positive divisors are 1 and itself. Definition in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
Distinct variable group:    z, P

Proof of Theorem isprm2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nprm 11178 . . . . 5  |-  -.  1  e.  Prime
2 eleq1 2150 . . . . . 6  |-  ( P  =  1  ->  ( P  e.  Prime  <->  1  e.  Prime ) )
32biimpcd 157 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P  =  1  ->  1  e.  Prime ) )
41, 3mtoi 625 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  =  1 )
54neqned 2262 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  =/=  1 )
65pm4.71i 383 . 2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  1
) )
7 isprm 11173 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  NN  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o ) )
8 isprm2lem 11180 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  {
1 ,  P }
) )
9 eqss 3038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  { 1 ,  P } 
<->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_  { 1 ,  P }  /\  { 1 ,  P }  C_ 
{ n  e.  NN  |  n  ||  P }
) )
109imbi2i 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  NN  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  { 1 ,  P } )  <->  ( P  e.  NN  ->  ( {
n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_  { 1 ,  P }  /\  { 1 ,  P }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  P } ) ) )
11 1idssfct 11179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  NN  ->  { 1 ,  P }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  P } )
12 jcab 570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  NN  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_ 
{ 1 ,  P }  /\  { 1 ,  P }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  P } ) )  <->  ( ( P  e.  NN  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_  { 1 ,  P }
)  /\  ( P  e.  NN  ->  { 1 ,  P }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  P } ) ) )
1311, 12mpbiran2 887 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  NN  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_ 
{ 1 ,  P }  /\  { 1 ,  P }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  P } ) )  <->  ( P  e.  NN  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_  { 1 ,  P } ) )
1410, 13bitri 182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  NN  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  { 1 ,  P } )  <->  ( P  e.  NN  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_  { 1 ,  P } ) )
1514pm5.74ri 179 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  NN  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  { 1 ,  P } 
<->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_ 
{ 1 ,  P } ) )
1615adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  {
1 ,  P }  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_  { 1 ,  P }
) )
178, 16bitrd 186 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_  { 1 ,  P } ) )
1817expcom 114 . . . . 5  |-  ( P  =/=  1  ->  ( P  e.  NN  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_ 
{ 1 ,  P } ) ) )
1918pm5.32d 438 . . . 4  |-  ( P  =/=  1  ->  (
( P  e.  NN  /\ 
{ n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o )  <->  ( P  e.  NN  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_  { 1 ,  P } ) ) )
207, 19syl5bb 190 . . 3  |-  ( P  =/=  1  ->  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  NN  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_  { 1 ,  P } ) ) )
2120pm5.32ri 443 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  1 )  <->  ( ( P  e.  NN  /\  {
n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_  { 1 ,  P }
)  /\  P  =/=  1 ) )
22 ancom 262 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\ 
{ n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_ 
{ 1 ,  P } )  /\  P  =/=  1 )  <->  ( P  =/=  1  /\  ( P  e.  NN  /\  {
n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_  { 1 ,  P }
) ) )
23 anass 393 . . . 4  |-  ( ( ( P  =/=  1  /\  P  e.  NN )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_  { 1 ,  P } )  <-> 
( P  =/=  1  /\  ( P  e.  NN  /\ 
{ n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_ 
{ 1 ,  P } ) ) )
2422, 23bitr4i 185 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\ 
{ n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_ 
{ 1 ,  P } )  /\  P  =/=  1 )  <->  ( ( P  =/=  1  /\  P  e.  NN )  /\  {
n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_  { 1 ,  P }
) )
25 ancom 262 . . . . 5  |-  ( ( P  =/=  1  /\  P  e.  NN )  <-> 
( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 ) )
26 eluz2b3 9060 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 ) )
2725, 26bitr4i 185 . . . 4  |-  ( ( P  =/=  1  /\  P  e.  NN )  <-> 
P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2827anbi1i 446 . . 3  |-  ( ( ( P  =/=  1  /\  P  e.  NN )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_  { 1 ,  P } )  <-> 
( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_  { 1 ,  P }
) )
29 dfss2 3012 . . . . 5  |-  ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_  { 1 ,  P }  <->  A. z ( z  e. 
{ n  e.  NN  |  n  ||  P }  ->  z  e.  { 1 ,  P } ) )
30 breq1 3840 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  z  ->  (
n  ||  P  <->  z  ||  P ) )
3130elrab 2769 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  <->  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )
32 vex 2622 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
3332elpr 3462 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { 1 ,  P }  <->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )
3431, 33imbi12i 237 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ->  z  e. 
{ 1 ,  P } )  <->  ( (
z  e.  NN  /\  z  ||  P )  -> 
( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
35 impexp 259 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  NN  /\  z  ||  P )  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  ( z  e.  NN  ->  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
3634, 35bitri 182 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ->  z  e. 
{ 1 ,  P } )  <->  ( z  e.  NN  ->  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
3736albii 1404 . . . . . 6  |-  ( A. z ( z  e. 
{ n  e.  NN  |  n  ||  P }  ->  z  e.  { 1 ,  P } )  <->  A. z ( z  e.  NN  ->  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
38 df-ral 2364 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  NN  (
z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )  <->  A. z ( z  e.  NN  ->  (
z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
3937, 38bitr4i 185 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e. 
{ n  e.  NN  |  n  ||  P }  ->  z  e.  { 1 ,  P } )  <->  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
4029, 39bitri 182 . . . 4  |-  ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_  { 1 ,  P }  <->  A. z  e.  NN  (
z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
4140anbi2i 445 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  {
n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_  { 1 ,  P }
)  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
4224, 28, 413bitri 204 . 2  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\ 
{ n  e.  NN  |  n  ||  P }  C_ 
{ 1 ,  P } )  /\  P  =/=  1 )  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
436, 21, 423bitri 204 1  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   A.wral 2359   {crab 2363    C_ wss 2997   {cpr 3442   class class class wbr 3837   ` cfv 5002   2oc2o 6157    ~~ cen 6435   1c1 7330   NNcn 8394   2c2 8444   ZZ>=cuz 8988    || cdvds 10878   Primecprime 11171
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-1o 6163  df-2o 6164  df-er 6272  df-en 6438  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-dvds 10879  df-prm 11172
This theorem is referenced by:  isprm3  11182  isprm4  11183  dvdsprime  11186  coprm  11205  isprm6  11208
  Copyright terms: Public domain W3C validator