Theorem isprm2 12049

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only positive divisors are 1 and itself. Definition in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )

Distinct variable group:   z, P

Proof of Theorem isprm2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nprm 12046	. . . . 5 |- -. 1 e. Prime
2		eleq1 2229	. . . . . 6 |- ( P = 1 -> ( P e. Prime <-> 1 e. Prime ) )
3	2	biimpcd 158	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( P = 1 -> 1 e. Prime ) )
4	1, 3	mtoi 654	. . . 4 |- ( P e. Prime -> -. P = 1 )
5	4	neqned 2343	. . 3 |- ( P e. Prime -> P =/= 1 )
6	5	pm4.71i 389	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. Prime /\ P =/= 1 ) )
7		isprm 12041	. . . 4 |- ( P e. Prime <-> ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) )
8		isprm2lem 12048	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )
9		eqss 3157	. . . . . . . . . . 11 |- ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } <-> ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } /\ { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) )
10	9	imbi2i 225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) <-> ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } /\ { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) ) )
11		1idssfct 12047	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN -> { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } )
12		jcab 593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } /\ { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) ) <-> ( ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ ( P e. NN -> { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) ) )
13	11, 12	mpbiran2 931	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } /\ { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) ) <-> ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
14	10, 13	bitri 183	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) <-> ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
15	14	pm5.74ri 180	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } <-> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
16	15	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } <-> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
17	8, 16	bitrd 187	. . . . . 6 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
18	17	expcom 115	. . . . 5 |- ( P =/= 1 -> ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
19	18	pm5.32d 446	. . . 4 |- ( P =/= 1 -> ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) <-> ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
20	7, 19	syl5bb 191	. . 3 |- ( P =/= 1 -> ( P e. Prime <-> ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
21	20	pm5.32ri 451	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ P =/= 1 ) <-> ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ P =/= 1 ) )
22		ancom 264	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ P =/= 1 ) <-> ( P =/= 1 /\ ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
23		anass 399	. . . 4 |- ( ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) <-> ( P =/= 1 /\ ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
24	22, 23	bitr4i 186	. . 3 |- ( ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ P =/= 1 ) <-> ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
25		ancom 264	. . . . 5 |- ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) <-> ( P e. NN /\ P =/= 1 ) )
26		eluz2b3 9542	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( P e. NN /\ P =/= 1 ) )
27	25, 26	bitr4i 186	. . . 4 |- ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) <-> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
28	27	anbi1i 454	. . 3 |- ( ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
29		dfss2 3131	. . . . 5 |- ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } <-> A. z ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) )
30		breq1 3985	. . . . . . . . . 10 |- ( n = z -> ( n || P <-> z || P ) )
31	30	elrab 2882	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { n e. NN | n || P } <-> ( z e. NN /\ z || P ) )
32		vex 2729	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
33	32	elpr 3597	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { 1 , P } <-> ( z = 1 \/ z = P ) )
34	31, 33	imbi12i 238	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) <-> ( ( z e. NN /\ z || P ) -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
35		impexp 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. NN /\ z || P ) -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
36	34, 35	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
37	36	albii 1458	. . . . . 6 |- ( A. z ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) <-> A. z ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
38		df-ral 2449	. . . . . 6 |- ( A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> A. z ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
39	37, 38	bitr4i 186	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) <-> A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
40	29, 39	bitri 183	. . . 4 |- ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } <-> A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
41	40	anbi2i 453	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
42	24, 28, 41	3bitri 205	. 2 |- ( ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ P =/= 1 ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
43	6, 21, 42	3bitri 205	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   A.wral 2444   {crab 2448   C_ wss 3116   {cpr 3577   class class class wbr 3982   ` cfv 5188   2oc2o 6378   ~~ cen 6704   1c1 7754   NNcn 8857   2c2 8908   ZZ>=cuz 9466   || cdvds 11727   Primecprime 12039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-en 6707  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728  df-prm 12040

This theorem is referenced by:  isprm3  12050  isprm4  12051  dvdsprime  12054  coprm  12076  isprm6  12079  infpn2  12389