Theorem isprm2 12524

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only positive divisors are 1 and itself. Definition in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )

Distinct variable group:   z, P

Proof of Theorem isprm2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nprm 12521	. . . . 5 |- -. 1 e. Prime
2		eleq1 2269	. . . . . 6 |- ( P = 1 -> ( P e. Prime <-> 1 e. Prime ) )
3	2	biimpcd 159	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( P = 1 -> 1 e. Prime ) )
4	1, 3	mtoi 666	. . . 4 |- ( P e. Prime -> -. P = 1 )
5	4	neqned 2384	. . 3 |- ( P e. Prime -> P =/= 1 )
6	5	pm4.71i 391	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. Prime /\ P =/= 1 ) )
7		isprm 12516	. . . 4 |- ( P e. Prime <-> ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) )
8		isprm2lem 12523	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )
9		eqss 3212	. . . . . . . . . . 11 |- ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } <-> ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } /\ { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) )
10	9	imbi2i 226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) <-> ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } /\ { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) ) )
11		1idssfct 12522	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN -> { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } )
12		jcab 603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } /\ { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) ) <-> ( ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ ( P e. NN -> { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) ) )
13	11, 12	mpbiran2 944	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } /\ { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) ) <-> ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
14	10, 13	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) <-> ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
15	14	pm5.74ri 181	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } <-> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } <-> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
17	8, 16	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
18	17	expcom 116	. . . . 5 |- ( P =/= 1 -> ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
19	18	pm5.32d 450	. . . 4 |- ( P =/= 1 -> ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) <-> ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
20	7, 19	bitrid 192	. . 3 |- ( P =/= 1 -> ( P e. Prime <-> ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
21	20	pm5.32ri 455	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ P =/= 1 ) <-> ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ P =/= 1 ) )
22		ancom 266	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ P =/= 1 ) <-> ( P =/= 1 /\ ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
23		anass 401	. . . 4 |- ( ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) <-> ( P =/= 1 /\ ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
24	22, 23	bitr4i 187	. . 3 |- ( ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ P =/= 1 ) <-> ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
25		ancom 266	. . . . 5 |- ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) <-> ( P e. NN /\ P =/= 1 ) )
26		eluz2b3 9755	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( P e. NN /\ P =/= 1 ) )
27	25, 26	bitr4i 187	. . . 4 |- ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) <-> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
28	27	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
29		ssalel 3185	. . . . 5 |- ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } <-> A. z ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) )
30		breq1 4057	. . . . . . . . . 10 |- ( n = z -> ( n || P <-> z || P ) )
31	30	elrab 2933	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { n e. NN | n || P } <-> ( z e. NN /\ z || P ) )
32		vex 2776	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
33	32	elpr 3659	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { 1 , P } <-> ( z = 1 \/ z = P ) )
34	31, 33	imbi12i 239	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) <-> ( ( z e. NN /\ z || P ) -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
35		impexp 263	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. NN /\ z || P ) -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
36	34, 35	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
37	36	albii 1494	. . . . . 6 |- ( A. z ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) <-> A. z ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
38		df-ral 2490	. . . . . 6 |- ( A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> A. z ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
39	37, 38	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) <-> A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
40	29, 39	bitri 184	. . . 4 |- ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } <-> A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
41	40	anbi2i 457	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
42	24, 28, 41	3bitri 206	. 2 |- ( ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ P =/= 1 ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
43	6, 21, 42	3bitri 206	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   A.wral 2485   {crab 2489   C_ wss 3170   {cpr 3639   class class class wbr 4054   ` cfv 5285   2oc2o 6514   ~~ cen 6843   1c1 7956   NNcn 9066   2c2 9117   ZZ>=cuz 9678   || cdvds 12183   Primecprime 12514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074  ax-caucvg 8075

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-1o 6520  df-2o 6521  df-er 6638  df-en 6846  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-q 9771  df-rp 9806  df-seqfrec 10625  df-exp 10716  df-cj 11238  df-re 11239  df-im 11240  df-rsqrt 11394  df-abs 11395  df-dvds 12184  df-prm 12515

This theorem is referenced by:  isprm3  12525  isprm4  12526  dvdsprime  12529  coprm  12551  isprm6  12554  infpn2  12912  znidomb  14505  perfectlem2  15557