Theorem isprm2 12410

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only positive divisors are 1 and itself. Definition in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )

Distinct variable group:   z, P

Proof of Theorem isprm2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nprm 12407	. . . . 5 |- -. 1 e. Prime
2		eleq1 2267	. . . . . 6 |- ( P = 1 -> ( P e. Prime <-> 1 e. Prime ) )
3	2	biimpcd 159	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( P = 1 -> 1 e. Prime ) )
4	1, 3	mtoi 665	. . . 4 |- ( P e. Prime -> -. P = 1 )
5	4	neqned 2382	. . 3 |- ( P e. Prime -> P =/= 1 )
6	5	pm4.71i 391	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. Prime /\ P =/= 1 ) )
7		isprm 12402	. . . 4 |- ( P e. Prime <-> ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) )
8		isprm2lem 12409	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) )
9		eqss 3207	. . . . . . . . . . 11 |- ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } <-> ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } /\ { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) )
10	9	imbi2i 226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) <-> ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } /\ { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) ) )
11		1idssfct 12408	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN -> { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } )
12		jcab 603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } /\ { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) ) <-> ( ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ ( P e. NN -> { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) ) )
13	11, 12	mpbiran2 943	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } /\ { 1 , P } C_ { n e. NN | n || P } ) ) <-> ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
14	10, 13	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } = { 1 , P } ) <-> ( P e. NN -> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
15	14	pm5.74ri 181	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } <-> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } = { 1 , P } <-> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
17	8, 16	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( ( P e. NN /\ P =/= 1 ) -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
18	17	expcom 116	. . . . 5 |- ( P =/= 1 -> ( P e. NN -> ( { n e. NN | n || P } ~~ 2o <-> { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
19	18	pm5.32d 450	. . . 4 |- ( P =/= 1 -> ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } ~~ 2o ) <-> ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
20	7, 19	bitrid 192	. . 3 |- ( P =/= 1 -> ( P e. Prime <-> ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
21	20	pm5.32ri 455	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ P =/= 1 ) <-> ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ P =/= 1 ) )
22		ancom 266	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ P =/= 1 ) <-> ( P =/= 1 /\ ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
23		anass 401	. . . 4 |- ( ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) <-> ( P =/= 1 /\ ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) ) )
24	22, 23	bitr4i 187	. . 3 |- ( ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ P =/= 1 ) <-> ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
25		ancom 266	. . . . 5 |- ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) <-> ( P e. NN /\ P =/= 1 ) )
26		eluz2b3 9724	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( P e. NN /\ P =/= 1 ) )
27	25, 26	bitr4i 187	. . . 4 |- ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) <-> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
28	27	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( ( P =/= 1 /\ P e. NN ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) )
29		ssalel 3180	. . . . 5 |- ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } <-> A. z ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) )
30		breq1 4046	. . . . . . . . . 10 |- ( n = z -> ( n || P <-> z || P ) )
31	30	elrab 2928	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { n e. NN | n || P } <-> ( z e. NN /\ z || P ) )
32		vex 2774	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
33	32	elpr 3653	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { 1 , P } <-> ( z = 1 \/ z = P ) )
34	31, 33	imbi12i 239	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) <-> ( ( z e. NN /\ z || P ) -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
35		impexp 263	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. NN /\ z || P ) -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
36	34, 35	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
37	36	albii 1492	. . . . . 6 |- ( A. z ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) <-> A. z ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
38		df-ral 2488	. . . . . 6 |- ( A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> A. z ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
39	37, 38	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. { n e. NN | n || P } -> z e. { 1 , P } ) <-> A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
40	29, 39	bitri 184	. . . 4 |- ( { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } <-> A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
41	40	anbi2i 457	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
42	24, 28, 41	3bitri 206	. 2 |- ( ( ( P e. NN /\ { n e. NN | n || P } C_ { 1 , P } ) /\ P =/= 1 ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
43	6, 21, 42	3bitri 206	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   A.wal 1370   = wceq 1372   e. wcel 2175   =/= wne 2375   A.wral 2483   {crab 2487   C_ wss 3165   {cpr 3633   class class class wbr 4043   ` cfv 5270   2oc2o 6495   ~~ cen 6824   1c1 7925   NNcn 9035   2c2 9086   ZZ>=cuz 9647   || cdvds 12069   Primecprime 12400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-1o 6501  df-2o 6502  df-er 6619  df-en 6827  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-cj 11124  df-re 11125  df-im 11126  df-rsqrt 11280  df-abs 11281  df-dvds 12070  df-prm 12401

This theorem is referenced by:  isprm3  12411  isprm4  12412  dvdsprime  12415  coprm  12437  isprm6  12440  infpn2  12798  znidomb  14391  perfectlem2  15443