Theorem 1lt2nq 7473

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2nq	⊢ 1Q <Q (1Q +Q 1Q)

Proof of Theorem 1lt2nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2pi 7407	. . . . 5 ⊢ 1o <N (1o +N 1o)
2		1pi 7382	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ N
3		mulidpi 7385	. . . . . 6 ⊢ (1o ∈ N → (1o ·N 1o) = 1o)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1o ·N 1o) = 1o
5	4, 4	oveq12i 5934	. . . . 5 ⊢ ((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o)) = (1o +N 1o)
6	1, 4, 5	3brtr4i 4063	. . . 4 ⊢ (1o ·N 1o) <N ((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o))
7		mulclpi 7395	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (1o ·N 1o) ∈ N)
8	2, 2, 7	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (1o ·N 1o) ∈ N
9		addclpi 7394	. . . . . 6 ⊢ (((1o ·N 1o) ∈ N ∧ (1o ·N 1o) ∈ N) → ((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o)) ∈ N)
10	8, 8, 9	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o)) ∈ N
11		ltmpig 7406	. . . . 5 ⊢ (((1o ·N 1o) ∈ N ∧ ((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o)) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ((1o ·N 1o) <N ((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o)) ↔ (1o ·N (1o ·N 1o)) <N (1o ·N ((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o)))))
12	8, 10, 2, 11	mp3an 1348	. . . 4 ⊢ ((1o ·N 1o) <N ((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o)) ↔ (1o ·N (1o ·N 1o)) <N (1o ·N ((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o))))
13	6, 12	mpbi 145	. . 3 ⊢ (1o ·N (1o ·N 1o)) <N (1o ·N ((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o)))
14		ordpipqqs 7441	. . . 4 ⊢ (((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) ∧ (((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o)) ∈ N ∧ (1o ·N 1o) ∈ N)) → ([⟨1o, 1o⟩] ~Q <Q [⟨((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩] ~Q ↔ (1o ·N (1o ·N 1o)) <N (1o ·N ((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o)))))
15	2, 2, 10, 8, 14	mp4an 427	. . 3 ⊢ ([⟨1o, 1o⟩] ~Q <Q [⟨((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩] ~Q ↔ (1o ·N (1o ·N 1o)) <N (1o ·N ((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o))))
16	13, 15	mpbir 146	. 2 ⊢ [⟨1o, 1o⟩] ~Q <Q [⟨((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩] ~Q
17		df-1nqqs 7418	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
18	17, 17	oveq12i 5934	. . 3 ⊢ (1Q +Q 1Q) = ([⟨1o, 1o⟩] ~Q +Q [⟨1o, 1o⟩] ~Q )
19		addpipqqs 7437	. . . 4 ⊢ (((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) ∧ (1o ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨1o, 1o⟩] ~Q +Q [⟨1o, 1o⟩] ~Q ) = [⟨((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩] ~Q )
20	2, 2, 2, 2, 19	mp4an 427	. . 3 ⊢ ([⟨1o, 1o⟩] ~Q +Q [⟨1o, 1o⟩] ~Q ) = [⟨((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩] ~Q
21	18, 20	eqtri 2217	. 2 ⊢ (1Q +Q 1Q) = [⟨((1o ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩] ~Q
22	16, 17, 21	3brtr4i 4063	1 ⊢ 1Q <Q (1Q +Q 1Q)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ⟨cop 3625   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  1_oc1o 6467  [cec 6590  Ncnpi 7339   +_N cpli 7340   ·_N cmi 7341   <_N clti 7342   ~_Q ceq 7346  1_Qc1q 7348   +_Q cplq 7349   <_Q cltq 7352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-1nqqs 7418  df-ltnqqs 7420

This theorem is referenced by:  ltaddnq  7474