Theorem 1ne0sr 7816

Description: 1 and 0 are distinct for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1ne0sr	|- -. 1R = 0R

Proof of Theorem 1ne0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsosr 7814	. . 3 |- <R Or R.
2		1sr 7801	. . 3 |- 1R e. R.
3		sonr 4346	. . 3 |- ( ( <R Or R. /\ 1R e. R. ) -> -. 1R <R 1R )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. 2 |- -. 1R <R 1R
5		0lt1sr 7815	. . 3 |- 0R <R 1R
6		breq1 4032	. . 3 |- ( 1R = 0R -> ( 1R <R 1R <-> 0R <R 1R ) )
7	5, 6	mpbiri 168	. 2 |- ( 1R = 0R -> 1R <R 1R )
8	4, 7	mto 663	1 |- -. 1R = 0R

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   Or wor 4324   R.cnr 7347   0Rc0r 7348   1Rc1r 7349   <R cltr 7353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4318  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-iord 4395  df-on 4397  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-irdg 6414  df-1o 6460  df-2o 6461  df-oadd 6464  df-omul 6465  df-er 6578  df-ec 6580  df-qs 6584  df-ni 7354  df-pli 7355  df-mi 7356  df-lti 7357  df-plpq 7394  df-mpq 7395  df-enq 7397  df-nqqs 7398  df-plqqs 7399  df-mqqs 7400  df-1nqqs 7401  df-rq 7402  df-ltnqqs 7403  df-enq0 7474  df-nq0 7475  df-0nq0 7476  df-plq0 7477  df-mq0 7478  df-inp 7516  df-i1p 7517  df-iplp 7518  df-iltp 7520  df-enr 7776  df-nr 7777  df-ltr 7780  df-0r 7781  df-1r 7782

This theorem is referenced by: (None)