Theorem 1sr 7583

Description: The constant 1R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1sr	|- 1R e. R.

Proof of Theorem 1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7386	. . . . 5 |- 1P e. P.
2		addclpr 7369	. . . . 5 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
3	1, 1, 2	mp2an 423	. . . 4 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
4		opelxpi 4579	. . . 4 |- ( ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. ) )
5	3, 1, 4	mp2an 423	. . 3 |- <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. )
6		enrex 7569	. . . 4 |- ~R e. _V
7	6	ecelqsi 6491	. . 3 |- ( <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 |- [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R )
9		df-1r 7564	. 2 |- 1R = [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R
10		df-nr 7559	. 2 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
11	8, 9, 10	3eltr4i 2222	1 |- 1R e. R.

Syntax hints:   e. wcel 1481   <.cop 3535   X. cxp 4545  (class class class)co 5782   [cec 6435   /.cqs 6436   P.cnp 7123   1Pc1p 7124   +P. cpp 7125   ~R cer 7128   R.cnr 7129   1Rc1r 7131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-eprel 4219  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-2o 6322  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-pli 7137  df-mi 7138  df-lti 7139  df-plpq 7176  df-mpq 7177  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-plqqs 7181  df-mqqs 7182  df-1nqqs 7183  df-rq 7184  df-ltnqqs 7185  df-enq0 7256  df-nq0 7257  df-0nq0 7258  df-plq0 7259  df-mq0 7260  df-inp 7298  df-i1p 7299  df-iplp 7300  df-enr 7558  df-nr 7559  df-1r 7564

This theorem is referenced by:  1ne0sr  7598  pn0sr  7603  ltadd1sr  7608  ltm1sr  7609  caucvgsrlemoffval  7628  caucvgsrlemofff  7629  caucvgsrlemoffcau  7630  caucvgsrlemoffgt1  7631  caucvgsrlemoffres  7632  caucvgsr  7634  suplocsrlempr  7639  pitonnlem2  7679  peano1nnnn  7684  peano2nnnn  7685  ax1cn  7693  ax1re  7694  axicn  7695  axi2m1  7707  ax1rid  7709  axprecex  7712  axcnre  7713