Theorem 1sr 7946

Description: The constant 1R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1sr	|- 1R e. R.

Proof of Theorem 1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7749	. . . . 5 |- 1P e. P.
2		addclpr 7732	. . . . 5 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . . 4 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
4		opelxpi 4751	. . . 4 |- ( ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. ) )
5	3, 1, 4	mp2an 426	. . 3 |- <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. )
6		enrex 7932	. . . 4 |- ~R e. _V
7	6	ecelqsi 6744	. . 3 |- ( <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 |- [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R )
9		df-1r 7927	. 2 |- 1R = [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R
10		df-nr 7922	. 2 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
11	8, 9, 10	3eltr4i 2311	1 |- 1R e. R.

Syntax hints:   e. wcel 2200   <.cop 3669   X. cxp 4717  (class class class)co 6007   [cec 6686   /.cqs 6687   P.cnp 7486   1Pc1p 7487   +P. cpp 7488   ~R cer 7491   R.cnr 7492   1Rc1r 7494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-1o 6568  df-2o 6569  df-oadd 6572  df-omul 6573  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7499  df-pli 7500  df-mi 7501  df-lti 7502  df-plpq 7539  df-mpq 7540  df-enq 7542  df-nqqs 7543  df-plqqs 7544  df-mqqs 7545  df-1nqqs 7546  df-rq 7547  df-ltnqqs 7548  df-enq0 7619  df-nq0 7620  df-0nq0 7621  df-plq0 7622  df-mq0 7623  df-inp 7661  df-i1p 7662  df-iplp 7663  df-enr 7921  df-nr 7922  df-1r 7927

This theorem is referenced by:  1ne0sr  7961  pn0sr  7966  ltadd1sr  7971  ltm1sr  7972  caucvgsrlemoffval  7991  caucvgsrlemofff  7992  caucvgsrlemoffcau  7993  caucvgsrlemoffgt1  7994  caucvgsrlemoffres  7995  caucvgsr  7997  suplocsrlempr  8002  pitonnlem2  8042  peano1nnnn  8047  peano2nnnn  8048  ax1cn  8056  ax1re  8057  axicn  8058  axi2m1  8070  ax1rid  8072  axprecex  8075  axcnre  8076