Theorem 1ne0sr 8126

Description: 1 and 0 are distinct for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1ne0sr	⊢ ¬ 1R = 0R

Proof of Theorem 1ne0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsosr 8124	. . 3 ⊢ <R Or R
2		1sr 8111	. . 3 ⊢ 1R ∈ R
3		sonr 4460	. . 3 ⊢ (( <R Or R ∧ 1R ∈ R) → ¬ 1R <R 1R)
4	1, 2, 3	mp2an 430	. 2 ⊢ ¬ 1R <R 1R
5		0lt1sr 8125	. . 3 ⊢ 0R <R 1R
6		breq1 4131	. . 3 ⊢ (1R = 0R → (1R <R 1R ↔ 0R <R 1R))
7	5, 6	mpbiri 168	. 2 ⊢ (1R = 0R → 1R <R 1R)
8	4, 7	mto 672	1 ⊢ ¬ 1R = 0R

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128   Or wor 4438  Rcnr 7657  0_Rc0r 7658  1_Rc1r 7659   <_R cltr 7663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-eprel 4432  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-irdg 6634  df-1o 6680  df-2o 6681  df-oadd 6684  df-omul 6685  df-er 6800  df-ec 6802  df-qs 6806  df-ni 7664  df-pli 7665  df-mi 7666  df-lti 7667  df-plpq 7704  df-mpq 7705  df-enq 7707  df-nqqs 7708  df-plqqs 7709  df-mqqs 7710  df-1nqqs 7711  df-rq 7712  df-ltnqqs 7713  df-enq0 7784  df-nq0 7785  df-0nq0 7786  df-plq0 7787  df-mq0 7788  df-inp 7826  df-i1p 7827  df-iplp 7828  df-iltp 7830  df-enr 8086  df-nr 8087  df-ltr 8090  df-0r 8091  df-1r 8092

This theorem is referenced by: (None)