Theorem 1ne0sr 7831

Description: 1 and 0 are distinct for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1ne0sr	⊢ ¬ 1R = 0R

Proof of Theorem 1ne0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsosr 7829	. . 3 ⊢ <R Or R
2		1sr 7816	. . 3 ⊢ 1R ∈ R
3		sonr 4352	. . 3 ⊢ (( <R Or R ∧ 1R ∈ R) → ¬ 1R <R 1R)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. 2 ⊢ ¬ 1R <R 1R
5		0lt1sr 7830	. . 3 ⊢ 0R <R 1R
6		breq1 4036	. . 3 ⊢ (1R = 0R → (1R <R 1R ↔ 0R <R 1R))
7	5, 6	mpbiri 168	. 2 ⊢ (1R = 0R → 1R <R 1R)
8	4, 7	mto 663	1 ⊢ ¬ 1R = 0R

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033   Or wor 4330  Rcnr 7362  0_Rc0r 7363  1_Rc1r 7364   <_R cltr 7368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7369  df-pli 7370  df-mi 7371  df-lti 7372  df-plpq 7409  df-mpq 7410  df-enq 7412  df-nqqs 7413  df-plqqs 7414  df-mqqs 7415  df-1nqqs 7416  df-rq 7417  df-ltnqqs 7418  df-enq0 7489  df-nq0 7490  df-0nq0 7491  df-plq0 7492  df-mq0 7493  df-inp 7531  df-i1p 7532  df-iplp 7533  df-iltp 7535  df-enr 7791  df-nr 7792  df-ltr 7795  df-0r 7796  df-1r 7797

This theorem is referenced by: (None)