Theorem 0idsr 7834

Description: The signed real number 0 is an identity element for addition of signed reals. (Contributed by NM, 10-Apr-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0idsr	|- ( A e. R. -> ( A +R 0R ) = A )

Proof of Theorem 0idsr

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7794	. 2 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		oveq1 5929	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = ( A +R 0R ) )
3		id 19	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> [ <. x , y >. ] ~R = A )
4	2, 3	eqeq12d 2211	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = [ <. x , y >. ] ~R <-> ( A +R 0R ) = A ) )
5		df-0r 7798	. . . 4 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
6	5	oveq2i 5933	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
7		1pr 7621	. . . . 5 |- 1P e. P.
8		addsrpr 7812	. . . . 5 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R )
9	7, 7, 8	mpanr12 439	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R )
10		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> x e. P. )
11		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> y e. P. )
12	7	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> 1P e. P. )
13		addcomprg 7645	. . . . . . 7 |- ( ( z e. P. /\ w e. P. ) -> ( z +P. w ) = ( w +P. z ) )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( z +P. w ) = ( w +P. z ) )
15		addassprg 7646	. . . . . . 7 |- ( ( z e. P. /\ w e. P. /\ v e. P. ) -> ( ( z +P. w ) +P. v ) = ( z +P. ( w +P. v ) ) )
16	15	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. /\ v e. P. ) ) -> ( ( z +P. w ) +P. v ) = ( z +P. ( w +P. v ) ) )
17	10, 11, 12, 14, 16	caov12d 6105	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( x +P. ( y +P. 1P ) ) = ( y +P. ( x +P. 1P ) ) )
18		addclpr 7604	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( x +P. 1P ) e. P. )
19	7, 18	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( x e. P. -> ( x +P. 1P ) e. P. )
20		addclpr 7604	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( y +P. 1P ) e. P. )
21	7, 20	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( y e. P. -> ( y +P. 1P ) e. P. )
22	19, 21	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( x +P. 1P ) e. P. /\ ( y +P. 1P ) e. P. ) )
23		enreceq 7803	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( ( x +P. 1P ) e. P. /\ ( y +P. 1P ) e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R <-> ( x +P. ( y +P. 1P ) ) = ( y +P. ( x +P. 1P ) ) ) )
24	22, 23	mpdan 421	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R <-> ( x +P. ( y +P. 1P ) ) = ( y +P. ( x +P. 1P ) ) ) )
25	17, 24	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> [ <. x , y >. ] ~R = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R )
26	9, 25	eqtr4d 2232	. . 3 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R ) = [ <. x , y >. ] ~R )
27	6, 26	eqtrid 2241	. 2 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = [ <. x , y >. ] ~R )
28	1, 4, 27	ecoptocl 6681	1 |- ( A e. R. -> ( A +R 0R ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   <.cop 3625  (class class class)co 5922   [cec 6590   P.cnp 7358   1Pc1p 7359   +P. cpp 7360   ~R cer 7363   R.cnr 7364   0Rc0r 7365   +R cplr 7368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-0nq0 7493  df-plq0 7494  df-mq0 7495  df-inp 7533  df-i1p 7534  df-iplp 7535  df-enr 7793  df-nr 7794  df-plr 7795  df-0r 7798

This theorem is referenced by:  addgt0sr  7842  ltadd1sr  7843  ltm1sr  7844  caucvgsrlemoffval  7863  caucvgsrlemoffres  7867  caucvgsr  7869  map2psrprg  7872  suplocsrlempr  7874  addresr  7904  mulresr  7905  axi2m1  7942  ax0id  7945  axcnre  7948