Theorem 0idsr 7851

Description: The signed real number 0 is an identity element for addition of signed reals. (Contributed by NM, 10-Apr-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0idsr	|- ( A e. R. -> ( A +R 0R ) = A )

Proof of Theorem 0idsr

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7811	. 2 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		oveq1 5932	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = ( A +R 0R ) )
3		id 19	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> [ <. x , y >. ] ~R = A )
4	2, 3	eqeq12d 2211	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = [ <. x , y >. ] ~R <-> ( A +R 0R ) = A ) )
5		df-0r 7815	. . . 4 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
6	5	oveq2i 5936	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
7		1pr 7638	. . . . 5 |- 1P e. P.
8		addsrpr 7829	. . . . 5 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R )
9	7, 7, 8	mpanr12 439	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R )
10		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> x e. P. )
11		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> y e. P. )
12	7	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> 1P e. P. )
13		addcomprg 7662	. . . . . . 7 |- ( ( z e. P. /\ w e. P. ) -> ( z +P. w ) = ( w +P. z ) )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( z +P. w ) = ( w +P. z ) )
15		addassprg 7663	. . . . . . 7 |- ( ( z e. P. /\ w e. P. /\ v e. P. ) -> ( ( z +P. w ) +P. v ) = ( z +P. ( w +P. v ) ) )
16	15	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. /\ v e. P. ) ) -> ( ( z +P. w ) +P. v ) = ( z +P. ( w +P. v ) ) )
17	10, 11, 12, 14, 16	caov12d 6109	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( x +P. ( y +P. 1P ) ) = ( y +P. ( x +P. 1P ) ) )
18		addclpr 7621	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( x +P. 1P ) e. P. )
19	7, 18	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( x e. P. -> ( x +P. 1P ) e. P. )
20		addclpr 7621	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( y +P. 1P ) e. P. )
21	7, 20	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( y e. P. -> ( y +P. 1P ) e. P. )
22	19, 21	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( x +P. 1P ) e. P. /\ ( y +P. 1P ) e. P. ) )
23		enreceq 7820	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( ( x +P. 1P ) e. P. /\ ( y +P. 1P ) e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R <-> ( x +P. ( y +P. 1P ) ) = ( y +P. ( x +P. 1P ) ) ) )
24	22, 23	mpdan 421	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R <-> ( x +P. ( y +P. 1P ) ) = ( y +P. ( x +P. 1P ) ) ) )
25	17, 24	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> [ <. x , y >. ] ~R = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R )
26	9, 25	eqtr4d 2232	. . 3 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R ) = [ <. x , y >. ] ~R )
27	6, 26	eqtrid 2241	. 2 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = [ <. x , y >. ] ~R )
28	1, 4, 27	ecoptocl 6690	1 |- ( A e. R. -> ( A +R 0R ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   <.cop 3626  (class class class)co 5925   [cec 6599   P.cnp 7375   1Pc1p 7376   +P. cpp 7377   ~R cer 7380   R.cnr 7381   0Rc0r 7382   +R cplr 7385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-pli 7389  df-mi 7390  df-lti 7391  df-plpq 7428  df-mpq 7429  df-enq 7431  df-nqqs 7432  df-plqqs 7433  df-mqqs 7434  df-1nqqs 7435  df-rq 7436  df-ltnqqs 7437  df-enq0 7508  df-nq0 7509  df-0nq0 7510  df-plq0 7511  df-mq0 7512  df-inp 7550  df-i1p 7551  df-iplp 7552  df-enr 7810  df-nr 7811  df-plr 7812  df-0r 7815

This theorem is referenced by:  addgt0sr  7859  ltadd1sr  7860  ltm1sr  7861  caucvgsrlemoffval  7880  caucvgsrlemoffres  7884  caucvgsr  7886  map2psrprg  7889  suplocsrlempr  7891  addresr  7921  mulresr  7922  axi2m1  7959  ax0id  7962  axcnre  7965