Theorem 0idsr 7687

Description: The signed real number 0 is an identity element for addition of signed reals. (Contributed by NM, 10-Apr-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0idsr	|- ( A e. R. -> ( A +R 0R ) = A )

Proof of Theorem 0idsr

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7647	. 2 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		oveq1 5831	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = ( A +R 0R ) )
3		id 19	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> [ <. x , y >. ] ~R = A )
4	2, 3	eqeq12d 2172	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = [ <. x , y >. ] ~R <-> ( A +R 0R ) = A ) )
5		df-0r 7651	. . . 4 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
6	5	oveq2i 5835	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
7		1pr 7474	. . . . 5 |- 1P e. P.
8		addsrpr 7665	. . . . 5 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R )
9	7, 7, 8	mpanr12 436	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R )
10		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> x e. P. )
11		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> y e. P. )
12	7	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> 1P e. P. )
13		addcomprg 7498	. . . . . . 7 |- ( ( z e. P. /\ w e. P. ) -> ( z +P. w ) = ( w +P. z ) )
14	13	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( z +P. w ) = ( w +P. z ) )
15		addassprg 7499	. . . . . . 7 |- ( ( z e. P. /\ w e. P. /\ v e. P. ) -> ( ( z +P. w ) +P. v ) = ( z +P. ( w +P. v ) ) )
16	15	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. /\ v e. P. ) ) -> ( ( z +P. w ) +P. v ) = ( z +P. ( w +P. v ) ) )
17	10, 11, 12, 14, 16	caov12d 6002	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( x +P. ( y +P. 1P ) ) = ( y +P. ( x +P. 1P ) ) )
18		addclpr 7457	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( x +P. 1P ) e. P. )
19	7, 18	mpan2 422	. . . . . . 7 |- ( x e. P. -> ( x +P. 1P ) e. P. )
20		addclpr 7457	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( y +P. 1P ) e. P. )
21	7, 20	mpan2 422	. . . . . . 7 |- ( y e. P. -> ( y +P. 1P ) e. P. )
22	19, 21	anim12i 336	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( x +P. 1P ) e. P. /\ ( y +P. 1P ) e. P. ) )
23		enreceq 7656	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( ( x +P. 1P ) e. P. /\ ( y +P. 1P ) e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R <-> ( x +P. ( y +P. 1P ) ) = ( y +P. ( x +P. 1P ) ) ) )
24	22, 23	mpdan 418	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R <-> ( x +P. ( y +P. 1P ) ) = ( y +P. ( x +P. 1P ) ) ) )
25	17, 24	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> [ <. x , y >. ] ~R = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R )
26	9, 25	eqtr4d 2193	. . 3 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R ) = [ <. x , y >. ] ~R )
27	6, 26	syl5eq 2202	. 2 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = [ <. x , y >. ] ~R )
28	1, 4, 27	ecoptocl 6567	1 |- ( A e. R. -> ( A +R 0R ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   <.cop 3563  (class class class)co 5824   [cec 6478   P.cnp 7211   1Pc1p 7212   +P. cpp 7213   ~R cer 7216   R.cnr 7217   0Rc0r 7218   +R cplr 7221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4249  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-1o 6363  df-2o 6364  df-oadd 6367  df-omul 6368  df-er 6480  df-ec 6482  df-qs 6486  df-ni 7224  df-pli 7225  df-mi 7226  df-lti 7227  df-plpq 7264  df-mpq 7265  df-enq 7267  df-nqqs 7268  df-plqqs 7269  df-mqqs 7270  df-1nqqs 7271  df-rq 7272  df-ltnqqs 7273  df-enq0 7344  df-nq0 7345  df-0nq0 7346  df-plq0 7347  df-mq0 7348  df-inp 7386  df-i1p 7387  df-iplp 7388  df-enr 7646  df-nr 7647  df-plr 7648  df-0r 7651

This theorem is referenced by:  addgt0sr  7695  ltadd1sr  7696  ltm1sr  7697  caucvgsrlemoffval  7716  caucvgsrlemoffres  7720  caucvgsr  7722  map2psrprg  7725  suplocsrlempr  7727  addresr  7757  mulresr  7758  axi2m1  7795  ax0id  7798  axcnre  7801