ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0idsr Unicode version

Theorem 0idsr 7292
Description: The signed real number 0 is an identity element for addition of signed reals. (Contributed by NM, 10-Apr-1996.)
Assertion
Ref Expression
0idsr  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  0R )  =  A )

Proof of Theorem 0idsr
Dummy variables  x  y  z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 7252 . 2  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
2 oveq1 5641 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  A  -> 
( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  0R )  =  ( A  +R  0R ) )
3 id 19 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  A  ->  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  =  A )
42, 3eqeq12d 2102 . 2  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  A  -> 
( ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  0R )  =  [ <. x ,  y >. ]  ~R  <->  ( A  +R  0R )  =  A
) )
5 df-0r 7256 . . . 4  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
65oveq2i 5645 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  +R  0R )  =  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  )
7 1pr 7092 . . . . 5  |-  1P  e.  P.
8 addsrpr 7270 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  )  =  [ <. (
x  +P.  1P ) ,  ( y  +P. 
1P ) >. ]  ~R  )
97, 7, 8mpanr12 430 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  )  =  [ <. ( x  +P.  1P ) ,  ( y  +P.  1P ) >. ]  ~R  )
10 simpl 107 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  x  e.  P. )
11 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  y  e.  P. )
127a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  1P  e.  P. )
13 addcomprg 7116 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( z  +P.  w
)  =  ( w  +P.  z ) )
1413adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( z  +P.  w )  =  ( w  +P.  z ) )
15 addassprg 7117 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  P.  /\  w  e.  P.  /\  v  e.  P. )  ->  (
( z  +P.  w
)  +P.  v )  =  ( z  +P.  ( w  +P.  v
) ) )
1615adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P.  /\  v  e.  P. )
)  ->  ( (
z  +P.  w )  +P.  v )  =  ( z  +P.  ( w  +P.  v ) ) )
1710, 11, 12, 14, 16caov12d 5808 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  +P.  (
y  +P.  1P )
)  =  ( y  +P.  ( x  +P.  1P ) ) )
18 addclpr 7075 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( x  +P.  1P )  e.  P. )
197, 18mpan2 416 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  P.  ->  (
x  +P.  1P )  e.  P. )
20 addclpr 7075 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( y  +P.  1P )  e.  P. )
217, 20mpan2 416 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  P.  ->  (
y  +P.  1P )  e.  P. )
2219, 21anim12i 331 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( x  +P.  1P )  e.  P.  /\  ( y  +P.  1P )  e.  P. )
)
23 enreceq 7261 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( ( x  +P.  1P )  e.  P.  /\  ( y  +P.  1P )  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  =  [ <. ( x  +P.  1P ) ,  ( y  +P. 
1P ) >. ]  ~R  <->  ( x  +P.  ( y  +P.  1P ) )  =  ( y  +P.  ( x  +P.  1P ) ) ) )
2422, 23mpdan 412 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  =  [ <. ( x  +P.  1P ) ,  ( y  +P.  1P ) >. ]  ~R  <->  ( x  +P.  ( y  +P.  1P ) )  =  ( y  +P.  ( x  +P.  1P ) ) ) )
2517, 24mpbird 165 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  =  [ <. ( x  +P.  1P ) ,  ( y  +P.  1P ) >. ]  ~R  )
269, 25eqtr4d 2123 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  )  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  )
276, 26syl5eq 2132 . 2  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  0R )  =  [ <. x ,  y >. ]  ~R  )
281, 4, 27ecoptocl 6359 1  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  0R )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   <.cop 3444  (class class class)co 5634   [cec 6270   P.cnp 6829   1Pc1p 6830    +P. cpp 6831    ~R cer 6834   R.cnr 6835   0Rc0r 6836    +R cplr 6839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-2o 6164  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-rq 6890  df-ltnqqs 6891  df-enq0 6962  df-nq0 6963  df-0nq0 6964  df-plq0 6965  df-mq0 6966  df-inp 7004  df-i1p 7005  df-iplp 7006  df-enr 7251  df-nr 7252  df-plr 7253  df-0r 7256
This theorem is referenced by:  addgt0sr  7300  ltadd1sr  7301  caucvgsrlemoffval  7320  caucvgsrlemoffres  7324  caucvgsr  7326  addresr  7353  mulresr  7354  axi2m1  7389  ax0id  7392  axcnre  7395
  Copyright terms: Public domain W3C validator