Theorem 0idsr 7795

Description: The signed real number 0 is an identity element for addition of signed reals. (Contributed by NM, 10-Apr-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0idsr	|- ( A e. R. -> ( A +R 0R ) = A )

Proof of Theorem 0idsr

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7755	. 2 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		oveq1 5902	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = ( A +R 0R ) )
3		id 19	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> [ <. x , y >. ] ~R = A )
4	2, 3	eqeq12d 2204	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = [ <. x , y >. ] ~R <-> ( A +R 0R ) = A ) )
5		df-0r 7759	. . . 4 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
6	5	oveq2i 5906	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
7		1pr 7582	. . . . 5 |- 1P e. P.
8		addsrpr 7773	. . . . 5 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R )
9	7, 7, 8	mpanr12 439	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R )
10		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> x e. P. )
11		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> y e. P. )
12	7	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> 1P e. P. )
13		addcomprg 7606	. . . . . . 7 |- ( ( z e. P. /\ w e. P. ) -> ( z +P. w ) = ( w +P. z ) )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( z +P. w ) = ( w +P. z ) )
15		addassprg 7607	. . . . . . 7 |- ( ( z e. P. /\ w e. P. /\ v e. P. ) -> ( ( z +P. w ) +P. v ) = ( z +P. ( w +P. v ) ) )
16	15	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. /\ v e. P. ) ) -> ( ( z +P. w ) +P. v ) = ( z +P. ( w +P. v ) ) )
17	10, 11, 12, 14, 16	caov12d 6077	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( x +P. ( y +P. 1P ) ) = ( y +P. ( x +P. 1P ) ) )
18		addclpr 7565	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( x +P. 1P ) e. P. )
19	7, 18	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( x e. P. -> ( x +P. 1P ) e. P. )
20		addclpr 7565	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( y +P. 1P ) e. P. )
21	7, 20	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( y e. P. -> ( y +P. 1P ) e. P. )
22	19, 21	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( x +P. 1P ) e. P. /\ ( y +P. 1P ) e. P. ) )
23		enreceq 7764	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( ( x +P. 1P ) e. P. /\ ( y +P. 1P ) e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R <-> ( x +P. ( y +P. 1P ) ) = ( y +P. ( x +P. 1P ) ) ) )
24	22, 23	mpdan 421	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R <-> ( x +P. ( y +P. 1P ) ) = ( y +P. ( x +P. 1P ) ) ) )
25	17, 24	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> [ <. x , y >. ] ~R = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R )
26	9, 25	eqtr4d 2225	. . 3 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R ) = [ <. x , y >. ] ~R )
27	6, 26	eqtrid 2234	. 2 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = [ <. x , y >. ] ~R )
28	1, 4, 27	ecoptocl 6647	1 |- ( A e. R. -> ( A +R 0R ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   <.cop 3610  (class class class)co 5895   [cec 6556   P.cnp 7319   1Pc1p 7320   +P. cpp 7321   ~R cer 7324   R.cnr 7325   0Rc0r 7326   +R cplr 7329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-irdg 6394  df-1o 6440  df-2o 6441  df-oadd 6444  df-omul 6445  df-er 6558  df-ec 6560  df-qs 6564  df-ni 7332  df-pli 7333  df-mi 7334  df-lti 7335  df-plpq 7372  df-mpq 7373  df-enq 7375  df-nqqs 7376  df-plqqs 7377  df-mqqs 7378  df-1nqqs 7379  df-rq 7380  df-ltnqqs 7381  df-enq0 7452  df-nq0 7453  df-0nq0 7454  df-plq0 7455  df-mq0 7456  df-inp 7494  df-i1p 7495  df-iplp 7496  df-enr 7754  df-nr 7755  df-plr 7756  df-0r 7759

This theorem is referenced by:  addgt0sr  7803  ltadd1sr  7804  ltm1sr  7805  caucvgsrlemoffval  7824  caucvgsrlemoffres  7828  caucvgsr  7830  map2psrprg  7833  suplocsrlempr  7835  addresr  7865  mulresr  7866  axi2m1  7903  ax0id  7906  axcnre  7909