Theorem 0idsr 8098

Description: The signed real number 0 is an identity element for addition of signed reals. (Contributed by NM, 10-Apr-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0idsr	|- ( A e. R. -> ( A +R 0R ) = A )

Proof of Theorem 0idsr

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 8058	. 2 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		oveq1 6065	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = ( A +R 0R ) )
3		id 19	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> [ <. x , y >. ] ~R = A )
4	2, 3	eqeq12d 2249	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = [ <. x , y >. ] ~R <-> ( A +R 0R ) = A ) )
5		df-0r 8062	. . . 4 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
6	5	oveq2i 6069	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
7		1pr 7885	. . . . 5 |- 1P e. P.
8		addsrpr 8076	. . . . 5 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R )
9	7, 7, 8	mpanr12 439	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R )
10		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> x e. P. )
11		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> y e. P. )
12	7	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> 1P e. P. )
13		addcomprg 7909	. . . . . . 7 |- ( ( z e. P. /\ w e. P. ) -> ( z +P. w ) = ( w +P. z ) )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( z +P. w ) = ( w +P. z ) )
15		addassprg 7910	. . . . . . 7 |- ( ( z e. P. /\ w e. P. /\ v e. P. ) -> ( ( z +P. w ) +P. v ) = ( z +P. ( w +P. v ) ) )
16	15	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. /\ v e. P. ) ) -> ( ( z +P. w ) +P. v ) = ( z +P. ( w +P. v ) ) )
17	10, 11, 12, 14, 16	caov12d 6244	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( x +P. ( y +P. 1P ) ) = ( y +P. ( x +P. 1P ) ) )
18		addclpr 7868	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( x +P. 1P ) e. P. )
19	7, 18	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( x e. P. -> ( x +P. 1P ) e. P. )
20		addclpr 7868	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( y +P. 1P ) e. P. )
21	7, 20	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( y e. P. -> ( y +P. 1P ) e. P. )
22	19, 21	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( x +P. 1P ) e. P. /\ ( y +P. 1P ) e. P. ) )
23		enreceq 8067	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( ( x +P. 1P ) e. P. /\ ( y +P. 1P ) e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R <-> ( x +P. ( y +P. 1P ) ) = ( y +P. ( x +P. 1P ) ) ) )
24	22, 23	mpdan 421	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R <-> ( x +P. ( y +P. 1P ) ) = ( y +P. ( x +P. 1P ) ) ) )
25	17, 24	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> [ <. x , y >. ] ~R = [ <. ( x +P. 1P ) , ( y +P. 1P ) >. ] ~R )
26	9, 25	eqtr4d 2270	. . 3 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. 1P , 1P >. ] ~R ) = [ <. x , y >. ] ~R )
27	6, 26	eqtrid 2279	. 2 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R 0R ) = [ <. x , y >. ] ~R )
28	1, 4, 27	ecoptocl 6869	1 |- ( A e. R. -> ( A +R 0R ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   <.cop 3697  (class class class)co 6058   [cec 6778   P.cnp 7622   1Pc1p 7623   +P. cpp 7624   ~R cer 7627   R.cnr 7628   0Rc0r 7629   +R cplr 7632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-pli 7636  df-mi 7637  df-lti 7638  df-plpq 7675  df-mpq 7676  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-plqqs 7680  df-mqqs 7681  df-1nqqs 7682  df-rq 7683  df-ltnqqs 7684  df-enq0 7755  df-nq0 7756  df-0nq0 7757  df-plq0 7758  df-mq0 7759  df-inp 7797  df-i1p 7798  df-iplp 7799  df-enr 8057  df-nr 8058  df-plr 8059  df-0r 8062

This theorem is referenced by:  addgt0sr  8106  ltadd1sr  8107  ltm1sr  8108  caucvgsrlemoffval  8127  caucvgsrlemoffres  8131  caucvgsr  8133  map2psrprg  8136  suplocsrlempr  8138  addresr  8168  mulresr  8169  axi2m1  8206  ax0id  8209  axcnre  8212