Theorem 0lt1sr 7880

Description: 0 is less than 1 for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1sr	|- 0R <R 1R

Proof of Theorem 0lt1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7669	. . . . . 6 |- 1P e. P.
2		addclpr 7652	. . . . . 6 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
4		ltaddpr 7712	. . . . 5 |- ( ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) )
5	3, 1, 4	mp2an 426	. . . 4 |- ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P )
6		addcomprg 7693	. . . . 5 |- ( ( 1P e. P. /\ ( 1P +P. 1P ) e. P. ) -> ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) = ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) )
7	1, 3, 6	mp2an 426	. . . 4 |- ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) = ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P )
8	5, 7	breqtrri 4072	. . 3 |- ( 1P +P. 1P ) <P ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) )
9		ltsrprg 7862	. . . 4 |- ( ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) ) )
10	1, 1, 3, 1, 9	mp4an 427	. . 3 |- ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) )
11	8, 10	mpbir 146	. 2 |- [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R
12		df-0r 7846	. 2 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
13		df-1r 7847	. 2 |- 1R = [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R
14	11, 12, 13	3brtr4i 4075	1 |- 0R <R 1R

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   <.cop 3636   class class class wbr 4045  (class class class)co 5946   [cec 6620   P.cnp 7406   1Pc1p 7407   +P. cpp 7408   <P cltp 7410   ~R cer 7411   0Rc0r 7413   1Rc1r 7414   <R cltr 7418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-eprel 4337  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-1o 6504  df-2o 6505  df-oadd 6508  df-omul 6509  df-er 6622  df-ec 6624  df-qs 6628  df-ni 7419  df-pli 7420  df-mi 7421  df-lti 7422  df-plpq 7459  df-mpq 7460  df-enq 7462  df-nqqs 7463  df-plqqs 7464  df-mqqs 7465  df-1nqqs 7466  df-rq 7467  df-ltnqqs 7468  df-enq0 7539  df-nq0 7540  df-0nq0 7541  df-plq0 7542  df-mq0 7543  df-inp 7581  df-i1p 7582  df-iplp 7583  df-iltp 7585  df-enr 7841  df-nr 7842  df-ltr 7845  df-0r 7846  df-1r 7847

This theorem is referenced by:  1ne0sr  7881  ltadd1sr  7891  caucvgsrlemcl  7904  caucvgsrlemfv  7906  suplocsrlempr  7922  ax0lt1  7991