Theorem 0lt1sr 7795

Description: 0 is less than 1 for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1sr	|- 0R <R 1R

Proof of Theorem 0lt1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7584	. . . . . 6 |- 1P e. P.
2		addclpr 7567	. . . . . 6 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
4		ltaddpr 7627	. . . . 5 |- ( ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) )
5	3, 1, 4	mp2an 426	. . . 4 |- ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P )
6		addcomprg 7608	. . . . 5 |- ( ( 1P e. P. /\ ( 1P +P. 1P ) e. P. ) -> ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) = ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P ) )
7	1, 3, 6	mp2an 426	. . . 4 |- ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) = ( ( 1P +P. 1P ) +P. 1P )
8	5, 7	breqtrri 4045	. . 3 |- ( 1P +P. 1P ) <P ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) )
9		ltsrprg 7777	. . . 4 |- ( ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) ) )
10	1, 1, 3, 1, 9	mp4an 427	. . 3 |- ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( 1P +P. ( 1P +P. 1P ) ) )
11	8, 10	mpbir 146	. 2 |- [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R
12		df-0r 7761	. 2 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
13		df-1r 7762	. 2 |- 1R = [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R
14	11, 12, 13	3brtr4i 4048	1 |- 0R <R 1R

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   <.cop 3610   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   [cec 6558   P.cnp 7321   1Pc1p 7322   +P. cpp 7323   <P cltp 7325   ~R cer 7326   0Rc0r 7328   1Rc1r 7329   <R cltr 7333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-1o 6442  df-2o 6443  df-oadd 6446  df-omul 6447  df-er 6560  df-ec 6562  df-qs 6566  df-ni 7334  df-pli 7335  df-mi 7336  df-lti 7337  df-plpq 7374  df-mpq 7375  df-enq 7377  df-nqqs 7378  df-plqqs 7379  df-mqqs 7380  df-1nqqs 7381  df-rq 7382  df-ltnqqs 7383  df-enq0 7454  df-nq0 7455  df-0nq0 7456  df-plq0 7457  df-mq0 7458  df-inp 7496  df-i1p 7497  df-iplp 7498  df-iltp 7500  df-enr 7756  df-nr 7757  df-ltr 7760  df-0r 7761  df-1r 7762

This theorem is referenced by:  1ne0sr  7796  ltadd1sr  7806  caucvgsrlemcl  7819  caucvgsrlemfv  7821  suplocsrlempr  7837  ax0lt1  7906