Theorem 2strop1g 12741

Description: The other slot of a constructed two-slot structure. Version of 2stropg 12738 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str1.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2str1.b	⊢ (Base‘ndx) < 𝑁
2str1.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2str1.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁

Assertion

Ref	Expression
2strop1g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → + = (𝐸‘𝐺))

Proof of Theorem 2strop1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str1.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		2str1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 12643	. 2 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
4		2str1.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
5		2str1.b	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) < 𝑁
6	4, 5, 2	2strstr1g 12739	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩)
7		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → + ∈ 𝑊)
8		opexg 4257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ V)
9	2, 7, 8	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ V)
10		prid2g 3723	. . . 4 ⊢ (⟨𝑁, + ⟩ ∈ V → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩})
11	9, 10	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩})
12	1, 2	ndxarg 12641	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
13	12	opeq1i 3807	. . 3 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ = ⟨𝑁, + ⟩
14	11, 13, 4	3eltr4g 2279	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐺)
15	3, 6, 7, 14	opelstrsl 12732	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → + = (𝐸‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  {cpr 3619  ⟨cop 3621   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254   < clt 8054  ℕcn 8982  ndxcnx 12615  Slot cslot 12617  Basecbs 12618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624

This theorem is referenced by: (None)