Theorem 2strop1g 13143

Description: The other slot of a constructed two-slot structure. Version of 2stropg 13140 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str1.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2str1.b	⊢ (Base‘ndx) < 𝑁
2str1.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2str1.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁

Assertion

Ref	Expression
2strop1g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → + = (𝐸‘𝐺))

Proof of Theorem 2strop1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str1.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		2str1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13043	. 2 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
4		2str1.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
5		2str1.b	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) < 𝑁
6	4, 5, 2	2strstr1g 13141	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩)
7		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → + ∈ 𝑊)
8		opexg 4313	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ V)
9	2, 7, 8	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ V)
10		prid2g 3771	. . . 4 ⊢ (⟨𝑁, + ⟩ ∈ V → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩})
11	9, 10	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩})
12	1, 2	ndxarg 13041	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
13	12	opeq1i 3859	. . 3 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ = ⟨𝑁, + ⟩
14	11, 13, 4	3eltr4g 2315	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐺)
15	3, 6, 7, 14	opelstrsl 13133	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → + = (𝐸‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  {cpr 3667  ⟨cop 3669   class class class wbr 4082  ‘cfv 5314   < clt 8169  ℕcn 9098  ndxcnx 13015  Slot cslot 13017  Basecbs 13018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-fz 10193  df-struct 13020  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024

This theorem is referenced by: (None)