ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2strop1g GIF version

Theorem 2strop1g 12101
Description: The other slot of a constructed two-slot structure. Version of 2stropg 12098 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2str1.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2str1.b (Base‘ndx) < 𝑁
2str1.n 𝑁 ∈ ℕ
2str1.e 𝐸 = Slot 𝑁
Assertion
Ref Expression
2strop1g ((𝐵𝑉+𝑊) → + = (𝐸𝐺))

Proof of Theorem 2strop1g
StepHypRef Expression
1 2str1.e . . 3 𝐸 = Slot 𝑁
2 2str1.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxslid 12021 . 2 (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
4 2str1.g . . 3 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
5 2str1.b . . 3 (Base‘ndx) < 𝑁
64, 5, 22strstr1g 12099 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩)
7 simpr 109 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → +𝑊)
8 opexg 4157 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ +𝑊) → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ V)
92, 7, 8sylancr 411 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ V)
10 prid2g 3635 . . . 4 (⟨𝑁, + ⟩ ∈ V → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩})
119, 10syl 14 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩})
121, 2ndxarg 12019 . . . 4 (𝐸‘ndx) = 𝑁
1312opeq1i 3715 . . 3 ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ = ⟨𝑁, +
1411, 13, 43eltr4g 2226 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐺)
153, 6, 7, 14opelstrsl 12092 1 ((𝐵𝑉+𝑊) → + = (𝐸𝐺))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  Vcvv 2689  {cpr 3532  cop 3534   class class class wbr 3936  cfv 5130   < clt 7823  cn 8743  ndxcnx 11993  Slot cslot 11995  Basecbs 11996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-struct 11998  df-ndx 11999  df-slot 12000  df-base 12002
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator