ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2strop1g GIF version

Theorem 2strop1g 12572
Description: The other slot of a constructed two-slot structure. Version of 2stropg 12569 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2str1.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2str1.b (Base‘ndx) < 𝑁
2str1.n 𝑁 ∈ ℕ
2str1.e 𝐸 = Slot 𝑁
Assertion
Ref Expression
2strop1g ((𝐵𝑉+𝑊) → + = (𝐸𝐺))

Proof of Theorem 2strop1g
StepHypRef Expression
1 2str1.e . . 3 𝐸 = Slot 𝑁
2 2str1.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxslid 12477 . 2 (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
4 2str1.g . . 3 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
5 2str1.b . . 3 (Base‘ndx) < 𝑁
64, 5, 22strstr1g 12570 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩)
7 simpr 110 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → +𝑊)
8 opexg 4226 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ +𝑊) → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ V)
92, 7, 8sylancr 414 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ V)
10 prid2g 3697 . . . 4 (⟨𝑁, + ⟩ ∈ V → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩})
119, 10syl 14 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩})
121, 2ndxarg 12475 . . . 4 (𝐸‘ndx) = 𝑁
1312opeq1i 3780 . . 3 ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ = ⟨𝑁, +
1411, 13, 43eltr4g 2263 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐺)
153, 6, 7, 14opelstrsl 12563 1 ((𝐵𝑉+𝑊) → + = (𝐸𝐺))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  {cpr 3593  cop 3595   class class class wbr 4001  cfv 5213   < clt 7986  cn 8913  ndxcnx 12449  Slot cslot 12451  Basecbs 12452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-addcom 7906  ax-addass 7908  ax-distr 7910  ax-i2m1 7911  ax-0lt1 7912  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-cnre 7917  ax-pre-ltirr 7918  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-lttrn 7920  ax-pre-apti 7921  ax-pre-ltadd 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-id 4291  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-fv 5221  df-riota 5826  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-sub 8124  df-neg 8125  df-inn 8914  df-n0 9171  df-z 9248  df-uz 9523  df-fz 10003  df-struct 12454  df-ndx 12455  df-slot 12456  df-base 12458
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator