Theorem 2strop1g 12523

Description: The other slot of a constructed two-slot structure. Version of 2stropg 12520 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str1.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2str1.b	⊢ (Base‘ndx) < 𝑁
2str1.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2str1.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁

Assertion

Ref	Expression
2strop1g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → + = (𝐸‘𝐺))

Proof of Theorem 2strop1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str1.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		2str1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 12441	. 2 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
4		2str1.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
5		2str1.b	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) < 𝑁
6	4, 5, 2	2strstr1g 12521	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩)
7		simpr 109	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → + ∈ 𝑊)
8		opexg 4213	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ V)
9	2, 7, 8	sylancr 412	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ V)
10		prid2g 3688	. . . 4 ⊢ (⟨𝑁, + ⟩ ∈ V → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩})
11	9, 10	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩})
12	1, 2	ndxarg 12439	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
13	12	opeq1i 3768	. . 3 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ = ⟨𝑁, + ⟩
14	11, 13, 4	3eltr4g 2256	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐺)
15	3, 6, 7, 14	opelstrsl 12514	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → + = (𝐸‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  {cpr 3584  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198   < clt 7954  ℕcn 8878  ndxcnx 12413  Slot cslot 12415  Basecbs 12416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-struct 12418  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422

This theorem is referenced by: (None)