ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2strop1g GIF version

Theorem 2strop1g 11748
Description: The other slot of a constructed two-slot structure. Version of 2stropg 11745 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2str1.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2str1.b (Base‘ndx) < 𝑁
2str1.n 𝑁 ∈ ℕ
2str1.e 𝐸 = Slot 𝑁
Assertion
Ref Expression
2strop1g ((𝐵𝑉+𝑊) → + = (𝐸𝐺))

Proof of Theorem 2strop1g
StepHypRef Expression
1 2str1.e . . 3 𝐸 = Slot 𝑁
2 2str1.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxslid 11668 . 2 (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
4 2str1.g . . 3 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
5 2str1.b . . 3 (Base‘ndx) < 𝑁
64, 5, 22strstr1g 11746 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩)
7 simpr 109 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → +𝑊)
8 opexg 4079 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ +𝑊) → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ V)
92, 7, 8sylancr 406 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ V)
10 prid2g 3567 . . . 4 (⟨𝑁, + ⟩ ∈ V → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩})
119, 10syl 14 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨𝑁, + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩})
121, 2ndxarg 11666 . . . 4 (𝐸‘ndx) = 𝑁
1312opeq1i 3647 . . 3 ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ = ⟨𝑁, +
1411, 13, 43eltr4g 2180 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐺)
153, 6, 7, 14opelstrsl 11739 1 ((𝐵𝑉+𝑊) → + = (𝐸𝐺))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1296  wcel 1445  Vcvv 2633  {cpr 3467  cop 3469   class class class wbr 3867  cfv 5049   < clt 7619  cn 8520  ndxcnx 11640  Slot cslot 11642  Basecbs 11643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-struct 11645  df-ndx 11646  df-slot 11647  df-base 11649
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator