Theorem aptipr 7473

Description: Apartness of positive reals is tight. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
aptipr	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> A = B )

Proof of Theorem aptipr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 982	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> A e. P. )
2		simp2 983	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> B e. P. )
3		ioran 742	. . . . . . 7 |- ( -. ( A <P B \/ B <P A ) <-> ( -. A <P B /\ -. B <P A ) )
4	3	biimpi 119	. . . . . 6 |- ( -. ( A <P B \/ B <P A ) -> ( -. A <P B /\ -. B <P A ) )
5	4	3ad2ant3 1005	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> ( -. A <P B /\ -. B <P A ) )
6	5	simprd 113	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> -. B <P A )
7		aptiprleml 7471	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. B <P A ) -> ( 1st ` A ) C_ ( 1st ` B ) )
8	1, 2, 6, 7	syl3anc 1217	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> ( 1st ` A ) C_ ( 1st ` B ) )
9	5	simpld 111	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> -. A <P B )
10		aptiprleml 7471	. . . 4 |- ( ( B e. P. /\ A e. P. /\ -. A <P B ) -> ( 1st ` B ) C_ ( 1st ` A ) )
11	2, 1, 9, 10	syl3anc 1217	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> ( 1st ` B ) C_ ( 1st ` A ) )
12	8, 11	eqssd 3119	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> ( 1st ` A ) = ( 1st ` B ) )
13		aptiprlemu 7472	. . . 4 |- ( ( B e. P. /\ A e. P. /\ -. A <P B ) -> ( 2nd ` A ) C_ ( 2nd ` B ) )
14	2, 1, 9, 13	syl3anc 1217	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> ( 2nd ` A ) C_ ( 2nd ` B ) )
15		aptiprlemu 7472	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. B <P A ) -> ( 2nd ` B ) C_ ( 2nd ` A ) )
16	1, 2, 6, 15	syl3anc 1217	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> ( 2nd ` B ) C_ ( 2nd ` A ) )
17	14, 16	eqssd 3119	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> ( 2nd ` A ) = ( 2nd ` B ) )
18		preqlu 7304	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A = B <-> ( ( 1st ` A ) = ( 1st ` B ) /\ ( 2nd ` A ) = ( 2nd ` B ) ) ) )
19	18	3adant3 1002	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> ( A = B <-> ( ( 1st ` A ) = ( 1st ` B ) /\ ( 2nd ` A ) = ( 2nd ` B ) ) ) )
20	12, 17, 19	mpbir2and 929	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   ` cfv 5131   1stc1st 6044   2ndc2nd 6045   P.cnp 7123   <P cltp 7127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-eprel 4219  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-2o 6322  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-pli 7137  df-mi 7138  df-lti 7139  df-plpq 7176  df-mpq 7177  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-plqqs 7181  df-mqqs 7182  df-1nqqs 7183  df-rq 7184  df-ltnqqs 7185  df-enq0 7256  df-nq0 7257  df-0nq0 7258  df-plq0 7259  df-mq0 7260  df-inp 7298  df-iltp 7302

This theorem is referenced by:  aptisr  7611