ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  aptipr GIF version

Theorem aptipr 7179
Description: Apartness of positive reals is tight. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
aptipr ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem aptipr
StepHypRef Expression
1 simp1 943 . . . 4 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → 𝐴P)
2 simp2 944 . . . 4 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → 𝐵P)
3 ioran 704 . . . . . . 7 (¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴) ↔ (¬ 𝐴<P 𝐵 ∧ ¬ 𝐵<P 𝐴))
43biimpi 118 . . . . . 6 (¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴) → (¬ 𝐴<P 𝐵 ∧ ¬ 𝐵<P 𝐴))
543ad2ant3 966 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → (¬ 𝐴<P 𝐵 ∧ ¬ 𝐵<P 𝐴))
65simprd 112 . . . 4 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → ¬ 𝐵<P 𝐴)
7 aptiprleml 7177 . . . 4 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ 𝐵<P 𝐴) → (1st𝐴) ⊆ (1st𝐵))
81, 2, 6, 7syl3anc 1174 . . 3 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → (1st𝐴) ⊆ (1st𝐵))
95simpld 110 . . . 4 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → ¬ 𝐴<P 𝐵)
10 aptiprleml 7177 . . . 4 ((𝐵P𝐴P ∧ ¬ 𝐴<P 𝐵) → (1st𝐵) ⊆ (1st𝐴))
112, 1, 9, 10syl3anc 1174 . . 3 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → (1st𝐵) ⊆ (1st𝐴))
128, 11eqssd 3040 . 2 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → (1st𝐴) = (1st𝐵))
13 aptiprlemu 7178 . . . 4 ((𝐵P𝐴P ∧ ¬ 𝐴<P 𝐵) → (2nd𝐴) ⊆ (2nd𝐵))
142, 1, 9, 13syl3anc 1174 . . 3 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → (2nd𝐴) ⊆ (2nd𝐵))
15 aptiprlemu 7178 . . . 4 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ 𝐵<P 𝐴) → (2nd𝐵) ⊆ (2nd𝐴))
161, 2, 6, 15syl3anc 1174 . . 3 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → (2nd𝐵) ⊆ (2nd𝐴))
1714, 16eqssd 3040 . 2 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → (2nd𝐴) = (2nd𝐵))
18 preqlu 7010 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ((1st𝐴) = (1st𝐵) ∧ (2nd𝐴) = (2nd𝐵))))
19183adant3 963 . 2 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ((1st𝐴) = (1st𝐵) ∧ (2nd𝐴) = (2nd𝐵))))
2012, 17, 19mpbir2and 890 1 ((𝐴P𝐵P ∧ ¬ (𝐴<P 𝐵𝐵<P 𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438  wss 2997   class class class wbr 3837  cfv 5002  1st c1st 5891  2nd c2nd 5892  Pcnp 6829  <P cltp 6833
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-2o 6164  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-rq 6890  df-ltnqqs 6891  df-enq0 6962  df-nq0 6963  df-0nq0 6964  df-plq0 6965  df-mq0 6966  df-inp 7004  df-iltp 7008
This theorem is referenced by:  aptisr  7303
  Copyright terms: Public domain W3C validator