Theorem ltrnqg 7777

Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 7778. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltrnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )

Proof of Theorem ltrnqg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclnq 7749	. . . 4 |- ( A e. Q. -> ( *Q ` A ) e. Q. )
2		recclnq 7749	. . . 4 |- ( B e. Q. -> ( *Q ` B ) e. Q. )
3		mulclnq 7733	. . . 4 |- ( ( ( *Q ` A ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. )
5		ltmnqg 7758	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) <Q ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) ) )
6	4, 5	mpd3an3 1379	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) <Q ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) ) )
7		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> A e. Q. )
8		mulcomnqg 7740	. . . . . 6 |- ( ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
9	4, 7, 8	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
10	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( *Q ` A ) e. Q. )
11	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( *Q ` B ) e. Q. )
12		mulassnqg 7741	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
13	7, 10, 11, 12	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
14		mulclnq 7733	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) e. Q. )
15	7, 10, 14	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) e. Q. )
16		mulcomnqg 7740	. . . . . 6 |- ( ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) )
17	15, 11, 16	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) )
18	9, 13, 17	3eqtr2d 2277	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) )
19		recidnq 7750	. . . . . 6 |- ( A e. Q. -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) = 1Q )
20	19	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( A e. Q. -> ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) = ( ( *Q ` B ) .Q 1Q ) )
21		mulidnq 7746	. . . . . 6 |- ( ( *Q ` B ) e. Q. -> ( ( *Q ` B ) .Q 1Q ) = ( *Q ` B ) )
22	2, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( *Q ` B ) .Q 1Q ) = ( *Q ` B ) )
23	20, 22	sylan9eq 2291	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) = ( *Q ` B ) )
24	18, 23	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( *Q ` B ) )
25		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> B e. Q. )
26		mulassnqg 7741	. . . . 5 |- ( ( ( *Q ` A ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) = ( ( *Q ` A ) .Q ( ( *Q ` B ) .Q B ) ) )
27	10, 11, 25, 26	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) = ( ( *Q ` A ) .Q ( ( *Q ` B ) .Q B ) ) )
28		mulcomnqg 7740	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` B ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` B ) .Q B ) = ( B .Q ( *Q ` B ) ) )
29	11, 25, 28	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` B ) .Q B ) = ( B .Q ( *Q ` B ) ) )
30	29	oveq2d 6091	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( ( *Q ` B ) .Q B ) ) = ( ( *Q ` A ) .Q ( B .Q ( *Q ` B ) ) ) )
31		recidnq 7750	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> ( B .Q ( *Q ` B ) ) = 1Q )
32	31	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( *Q ` A ) .Q ( B .Q ( *Q ` B ) ) ) = ( ( *Q ` A ) .Q 1Q ) )
33		mulidnq 7746	. . . . . 6 |- ( ( *Q ` A ) e. Q. -> ( ( *Q ` A ) .Q 1Q ) = ( *Q ` A ) )
34	1, 33	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. Q. -> ( ( *Q ` A ) .Q 1Q ) = ( *Q ` A ) )
35	32, 34	sylan9eqr 2293	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( B .Q ( *Q ` B ) ) ) = ( *Q ` A ) )
36	27, 30, 35	3eqtrd 2275	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) = ( *Q ` A ) )
37	24, 36	breq12d 4138	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) <Q ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
38	6, 37	bitrd 188	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Q.cnq 7637   1Qc1q 7638   .Q cmq 7640   *Qcrq 7641   <Q cltq 7642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-mi 7663  df-lti 7664  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-mqqs 7707  df-1nqqs 7708  df-rq 7709  df-ltnqqs 7710

This theorem is referenced by:  ltrnqi  7778  recexprlemloc  7988  archrecnq  8020