Theorem ltrnqg 7753

Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 7754. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltrnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )

Proof of Theorem ltrnqg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclnq 7725	. . . 4 |- ( A e. Q. -> ( *Q ` A ) e. Q. )
2		recclnq 7725	. . . 4 |- ( B e. Q. -> ( *Q ` B ) e. Q. )
3		mulclnq 7709	. . . 4 |- ( ( ( *Q ` A ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. )
5		ltmnqg 7734	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) <Q ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) ) )
6	4, 5	mpd3an3 1375	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) <Q ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) ) )
7		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> A e. Q. )
8		mulcomnqg 7716	. . . . . 6 |- ( ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
9	4, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
10	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( *Q ` A ) e. Q. )
11	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( *Q ` B ) e. Q. )
12		mulassnqg 7717	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
13	7, 10, 11, 12	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
14		mulclnq 7709	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) e. Q. )
15	7, 10, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) e. Q. )
16		mulcomnqg 7716	. . . . . 6 |- ( ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) )
17	15, 11, 16	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) )
18	9, 13, 17	3eqtr2d 2273	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) )
19		recidnq 7726	. . . . . 6 |- ( A e. Q. -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) = 1Q )
20	19	oveq2d 6076	. . . . 5 |- ( A e. Q. -> ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) = ( ( *Q ` B ) .Q 1Q ) )
21		mulidnq 7722	. . . . . 6 |- ( ( *Q ` B ) e. Q. -> ( ( *Q ` B ) .Q 1Q ) = ( *Q ` B ) )
22	2, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( *Q ` B ) .Q 1Q ) = ( *Q ` B ) )
23	20, 22	sylan9eq 2287	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) = ( *Q ` B ) )
24	18, 23	eqtrd 2267	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( *Q ` B ) )
25		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> B e. Q. )
26		mulassnqg 7717	. . . . 5 |- ( ( ( *Q ` A ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) = ( ( *Q ` A ) .Q ( ( *Q ` B ) .Q B ) ) )
27	10, 11, 25, 26	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) = ( ( *Q ` A ) .Q ( ( *Q ` B ) .Q B ) ) )
28		mulcomnqg 7716	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` B ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` B ) .Q B ) = ( B .Q ( *Q ` B ) ) )
29	11, 25, 28	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` B ) .Q B ) = ( B .Q ( *Q ` B ) ) )
30	29	oveq2d 6076	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( ( *Q ` B ) .Q B ) ) = ( ( *Q ` A ) .Q ( B .Q ( *Q ` B ) ) ) )
31		recidnq 7726	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> ( B .Q ( *Q ` B ) ) = 1Q )
32	31	oveq2d 6076	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( *Q ` A ) .Q ( B .Q ( *Q ` B ) ) ) = ( ( *Q ` A ) .Q 1Q ) )
33		mulidnq 7722	. . . . . 6 |- ( ( *Q ` A ) e. Q. -> ( ( *Q ` A ) .Q 1Q ) = ( *Q ` A ) )
34	1, 33	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. Q. -> ( ( *Q ` A ) .Q 1Q ) = ( *Q ` A ) )
35	32, 34	sylan9eqr 2289	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( B .Q ( *Q ` B ) ) ) = ( *Q ` A ) )
36	27, 30, 35	3eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) = ( *Q ` A ) )
37	24, 36	breq12d 4128	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) <Q ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
38	6, 37	bitrd 188	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4115   ` cfv 5359  (class class class)co 6060   Q.cnq 7613   1Qc1q 7614   .Q cmq 7616   *Qcrq 7617   <Q cltq 7618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-eprel 4416  df-id 4420  df-iord 4493  df-on 4495  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6551  df-irdg 6616  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-omul 6667  df-er 6782  df-ec 6784  df-qs 6788  df-ni 7637  df-mi 7639  df-lti 7640  df-mpq 7678  df-enq 7680  df-nqqs 7681  df-mqqs 7683  df-1nqqs 7684  df-rq 7685  df-ltnqqs 7686

This theorem is referenced by:  ltrnqi  7754  recexprlemloc  7964  archrecnq  7996