Theorem ltrnqg 7361

Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 7362. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltrnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )

Proof of Theorem ltrnqg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclnq 7333	. . . 4 |- ( A e. Q. -> ( *Q ` A ) e. Q. )
2		recclnq 7333	. . . 4 |- ( B e. Q. -> ( *Q ` B ) e. Q. )
3		mulclnq 7317	. . . 4 |- ( ( ( *Q ` A ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. )
5		ltmnqg 7342	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) <Q ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) ) )
6	4, 5	mpd3an3 1328	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) <Q ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) ) )
7		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> A e. Q. )
8		mulcomnqg 7324	. . . . . 6 |- ( ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
9	4, 7, 8	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
10	1	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( *Q ` A ) e. Q. )
11	2	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( *Q ` B ) e. Q. )
12		mulassnqg 7325	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
13	7, 10, 11, 12	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
14		mulclnq 7317	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) e. Q. )
15	7, 10, 14	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) e. Q. )
16		mulcomnqg 7324	. . . . . 6 |- ( ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) )
17	15, 11, 16	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) )
18	9, 13, 17	3eqtr2d 2204	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) )
19		recidnq 7334	. . . . . 6 |- ( A e. Q. -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) = 1Q )
20	19	oveq2d 5858	. . . . 5 |- ( A e. Q. -> ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) = ( ( *Q ` B ) .Q 1Q ) )
21		mulidnq 7330	. . . . . 6 |- ( ( *Q ` B ) e. Q. -> ( ( *Q ` B ) .Q 1Q ) = ( *Q ` B ) )
22	2, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( *Q ` B ) .Q 1Q ) = ( *Q ` B ) )
23	20, 22	sylan9eq 2219	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) = ( *Q ` B ) )
24	18, 23	eqtrd 2198	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( *Q ` B ) )
25		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> B e. Q. )
26		mulassnqg 7325	. . . . 5 |- ( ( ( *Q ` A ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) = ( ( *Q ` A ) .Q ( ( *Q ` B ) .Q B ) ) )
27	10, 11, 25, 26	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) = ( ( *Q ` A ) .Q ( ( *Q ` B ) .Q B ) ) )
28		mulcomnqg 7324	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` B ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` B ) .Q B ) = ( B .Q ( *Q ` B ) ) )
29	11, 25, 28	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` B ) .Q B ) = ( B .Q ( *Q ` B ) ) )
30	29	oveq2d 5858	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( ( *Q ` B ) .Q B ) ) = ( ( *Q ` A ) .Q ( B .Q ( *Q ` B ) ) ) )
31		recidnq 7334	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> ( B .Q ( *Q ` B ) ) = 1Q )
32	31	oveq2d 5858	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( *Q ` A ) .Q ( B .Q ( *Q ` B ) ) ) = ( ( *Q ` A ) .Q 1Q ) )
33		mulidnq 7330	. . . . . 6 |- ( ( *Q ` A ) e. Q. -> ( ( *Q ` A ) .Q 1Q ) = ( *Q ` A ) )
34	1, 33	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. Q. -> ( ( *Q ` A ) .Q 1Q ) = ( *Q ` A ) )
35	32, 34	sylan9eqr 2221	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( B .Q ( *Q ` B ) ) ) = ( *Q ` A ) )
36	27, 30, 35	3eqtrd 2202	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) = ( *Q ` A ) )
37	24, 36	breq12d 3995	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) <Q ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
38	6, 37	bitrd 187	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   Q.cnq 7221   1Qc1q 7222   .Q cmq 7224   *Qcrq 7225   <Q cltq 7226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-mi 7247  df-lti 7248  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294

This theorem is referenced by:  ltrnqi  7362  recexprlemloc  7572  archrecnq  7604