Theorem ltrnqg 7568

Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 7569. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltrnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )

Proof of Theorem ltrnqg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclnq 7540	. . . 4 |- ( A e. Q. -> ( *Q ` A ) e. Q. )
2		recclnq 7540	. . . 4 |- ( B e. Q. -> ( *Q ` B ) e. Q. )
3		mulclnq 7524	. . . 4 |- ( ( ( *Q ` A ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. )
5		ltmnqg 7549	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) <Q ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) ) )
6	4, 5	mpd3an3 1351	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) <Q ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) ) )
7		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> A e. Q. )
8		mulcomnqg 7531	. . . . . 6 |- ( ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
9	4, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
10	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( *Q ` A ) e. Q. )
11	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( *Q ` B ) e. Q. )
12		mulassnqg 7532	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
13	7, 10, 11, 12	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
14		mulclnq 7524	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) e. Q. )
15	7, 10, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) e. Q. )
16		mulcomnqg 7531	. . . . . 6 |- ( ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) )
17	15, 11, 16	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) )
18	9, 13, 17	3eqtr2d 2246	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) )
19		recidnq 7541	. . . . . 6 |- ( A e. Q. -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) = 1Q )
20	19	oveq2d 5983	. . . . 5 |- ( A e. Q. -> ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) = ( ( *Q ` B ) .Q 1Q ) )
21		mulidnq 7537	. . . . . 6 |- ( ( *Q ` B ) e. Q. -> ( ( *Q ` B ) .Q 1Q ) = ( *Q ` B ) )
22	2, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( *Q ` B ) .Q 1Q ) = ( *Q ` B ) )
23	20, 22	sylan9eq 2260	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) = ( *Q ` B ) )
24	18, 23	eqtrd 2240	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( *Q ` B ) )
25		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> B e. Q. )
26		mulassnqg 7532	. . . . 5 |- ( ( ( *Q ` A ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) = ( ( *Q ` A ) .Q ( ( *Q ` B ) .Q B ) ) )
27	10, 11, 25, 26	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) = ( ( *Q ` A ) .Q ( ( *Q ` B ) .Q B ) ) )
28		mulcomnqg 7531	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` B ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` B ) .Q B ) = ( B .Q ( *Q ` B ) ) )
29	11, 25, 28	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` B ) .Q B ) = ( B .Q ( *Q ` B ) ) )
30	29	oveq2d 5983	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( ( *Q ` B ) .Q B ) ) = ( ( *Q ` A ) .Q ( B .Q ( *Q ` B ) ) ) )
31		recidnq 7541	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> ( B .Q ( *Q ` B ) ) = 1Q )
32	31	oveq2d 5983	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( *Q ` A ) .Q ( B .Q ( *Q ` B ) ) ) = ( ( *Q ` A ) .Q 1Q ) )
33		mulidnq 7537	. . . . . 6 |- ( ( *Q ` A ) e. Q. -> ( ( *Q ` A ) .Q 1Q ) = ( *Q ` A ) )
34	1, 33	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. Q. -> ( ( *Q ` A ) .Q 1Q ) = ( *Q ` A ) )
35	32, 34	sylan9eqr 2262	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( B .Q ( *Q ` B ) ) ) = ( *Q ` A ) )
36	27, 30, 35	3eqtrd 2244	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) = ( *Q ` A ) )
37	24, 36	breq12d 4072	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) <Q ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
38	6, 37	bitrd 188	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Q.cnq 7428   1Qc1q 7429   .Q cmq 7431   *Qcrq 7432   <Q cltq 7433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-eprel 4354  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-omul 6530  df-er 6643  df-ec 6645  df-qs 6649  df-ni 7452  df-mi 7454  df-lti 7455  df-mpq 7493  df-enq 7495  df-nqqs 7496  df-mqqs 7498  df-1nqqs 7499  df-rq 7500  df-ltnqqs 7501

This theorem is referenced by:  ltrnqi  7569  recexprlemloc  7779  archrecnq  7811