Theorem ltrnqg 7751

Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 7752. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltrnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )

Proof of Theorem ltrnqg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclnq 7723	. . . 4 |- ( A e. Q. -> ( *Q ` A ) e. Q. )
2		recclnq 7723	. . . 4 |- ( B e. Q. -> ( *Q ` B ) e. Q. )
3		mulclnq 7707	. . . 4 |- ( ( ( *Q ` A ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. )
5		ltmnqg 7732	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) <Q ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) ) )
6	4, 5	mpd3an3 1375	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) <Q ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) ) )
7		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> A e. Q. )
8		mulcomnqg 7714	. . . . . 6 |- ( ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
9	4, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
10	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( *Q ` A ) e. Q. )
11	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( *Q ` B ) e. Q. )
12		mulassnqg 7715	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
13	7, 10, 11, 12	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( A .Q ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) ) )
14		mulclnq 7707	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) e. Q. )
15	7, 10, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) e. Q. )
16		mulcomnqg 7714	. . . . . 6 |- ( ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) )
17	15, 11, 16	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( A .Q ( *Q ` A ) ) .Q ( *Q ` B ) ) = ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) )
18	9, 13, 17	3eqtr2d 2273	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) )
19		recidnq 7724	. . . . . 6 |- ( A e. Q. -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) = 1Q )
20	19	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( A e. Q. -> ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) = ( ( *Q ` B ) .Q 1Q ) )
21		mulidnq 7720	. . . . . 6 |- ( ( *Q ` B ) e. Q. -> ( ( *Q ` B ) .Q 1Q ) = ( *Q ` B ) )
22	2, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( *Q ` B ) .Q 1Q ) = ( *Q ` B ) )
23	20, 22	sylan9eq 2287	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` B ) .Q ( A .Q ( *Q ` A ) ) ) = ( *Q ` B ) )
24	18, 23	eqtrd 2267	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) = ( *Q ` B ) )
25		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> B e. Q. )
26		mulassnqg 7715	. . . . 5 |- ( ( ( *Q ` A ) e. Q. /\ ( *Q ` B ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) = ( ( *Q ` A ) .Q ( ( *Q ` B ) .Q B ) ) )
27	10, 11, 25, 26	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) = ( ( *Q ` A ) .Q ( ( *Q ` B ) .Q B ) ) )
28		mulcomnqg 7714	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` B ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` B ) .Q B ) = ( B .Q ( *Q ` B ) ) )
29	11, 25, 28	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` B ) .Q B ) = ( B .Q ( *Q ` B ) ) )
30	29	oveq2d 6074	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( ( *Q ` B ) .Q B ) ) = ( ( *Q ` A ) .Q ( B .Q ( *Q ` B ) ) ) )
31		recidnq 7724	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> ( B .Q ( *Q ` B ) ) = 1Q )
32	31	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( *Q ` A ) .Q ( B .Q ( *Q ` B ) ) ) = ( ( *Q ` A ) .Q 1Q ) )
33		mulidnq 7720	. . . . . 6 |- ( ( *Q ` A ) e. Q. -> ( ( *Q ` A ) .Q 1Q ) = ( *Q ` A ) )
34	1, 33	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. Q. -> ( ( *Q ` A ) .Q 1Q ) = ( *Q ` A ) )
35	32, 34	sylan9eqr 2289	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q ( B .Q ( *Q ` B ) ) ) = ( *Q ` A ) )
36	27, 30, 35	3eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) = ( *Q ` A ) )
37	24, 36	breq12d 4127	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q A ) <Q ( ( ( *Q ` A ) .Q ( *Q ` B ) ) .Q B ) <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
38	6, 37	bitrd 188	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Q.cnq 7611   1Qc1q 7612   .Q cmq 7614   *Qcrq 7615   <Q cltq 7616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-mi 7637  df-lti 7638  df-mpq 7676  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-mqqs 7681  df-1nqqs 7682  df-rq 7683  df-ltnqqs 7684

This theorem is referenced by:  ltrnqi  7752  recexprlemloc  7962  archrecnq  7994