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Theorem ltrnqg 6979
Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 6980. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltrnqg  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) ) )

Proof of Theorem ltrnqg
StepHypRef Expression
1 recclnq 6951 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( *Q `  A )  e. 
Q. )
2 recclnq 6951 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( *Q `  B )  e. 
Q. )
3 mulclnq 6935 . . . 4  |-  ( ( ( *Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( *Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  e.  Q. )
41, 2, 3syl2an 283 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  e.  Q. )
5 ltmnqg 6960 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  (
( *Q `  A
)  .Q  ( *Q
`  B ) )  e.  Q. )  -> 
( A  <Q  B  <->  ( (
( *Q `  A
)  .Q  ( *Q
`  B ) )  .Q  A )  <Q 
( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  B
) ) )
64, 5mpd3an3 1274 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( (
( *Q `  A
)  .Q  ( *Q
`  B ) )  .Q  A )  <Q 
( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  B
) ) )
7 simpl 107 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  A  e.  Q. )
8 mulcomnqg 6942 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  e.  Q.  /\  A  e.  Q. )  ->  (
( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  .Q  A )  =  ( A  .Q  (
( *Q `  A
)  .Q  ( *Q
`  B ) ) ) )
94, 7, 8syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  A
)  =  ( A  .Q  ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) ) ) )
101adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( *Q `  A
)  e.  Q. )
112adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( *Q `  B
)  e.  Q. )
12 mulassnqg 6943 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  ( *Q `  A )  e.  Q.  /\  ( *Q `  B )  e. 
Q. )  ->  (
( A  .Q  ( *Q `  A ) )  .Q  ( *Q `  B ) )  =  ( A  .Q  (
( *Q `  A
)  .Q  ( *Q
`  B ) ) ) )
137, 10, 11, 12syl3anc 1174 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( A  .Q  ( *Q `  A ) )  .Q  ( *Q
`  B ) )  =  ( A  .Q  ( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) ) ) )
14 mulclnq 6935 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  ( *Q `  A )  e.  Q. )  -> 
( A  .Q  ( *Q `  A ) )  e.  Q. )
157, 10, 14syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  ( *Q `  A ) )  e.  Q. )
16 mulcomnqg 6942 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .Q  ( *Q `  A ) )  e.  Q.  /\  ( *Q `  B )  e. 
Q. )  ->  (
( A  .Q  ( *Q `  A ) )  .Q  ( *Q `  B ) )  =  ( ( *Q `  B )  .Q  ( A  .Q  ( *Q `  A ) ) ) )
1715, 11, 16syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( A  .Q  ( *Q `  A ) )  .Q  ( *Q
`  B ) )  =  ( ( *Q
`  B )  .Q  ( A  .Q  ( *Q `  A ) ) ) )
189, 13, 173eqtr2d 2126 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  A
)  =  ( ( *Q `  B )  .Q  ( A  .Q  ( *Q `  A ) ) ) )
19 recidnq 6952 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  ( *Q `  A ) )  =  1Q )
2019oveq2d 5668 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( *Q `  B
)  .Q  ( A  .Q  ( *Q `  A ) ) )  =  ( ( *Q
`  B )  .Q  1Q ) )
21 mulidnq 6948 . . . . . 6  |-  ( ( *Q `  B )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  B
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  B ) )
222, 21syl 14 . . . . 5  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( *Q `  B
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  B ) )
2320, 22sylan9eq 2140 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  B )  .Q  ( A  .Q  ( *Q `  A ) ) )  =  ( *Q `  B ) )
2418, 23eqtrd 2120 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  A
)  =  ( *Q
`  B ) )
25 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  B  e.  Q. )
26 mulassnqg 6943 . . . . 5  |-  ( ( ( *Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( *Q `  B )  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  (
( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  .Q  B )  =  ( ( *Q `  A )  .Q  (
( *Q `  B
)  .Q  B ) ) )
2710, 11, 25, 26syl3anc 1174 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  B
)  =  ( ( *Q `  A )  .Q  ( ( *Q
`  B )  .Q  B ) ) )
28 mulcomnqg 6942 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  B
)  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  B )  .Q  B
)  =  ( B  .Q  ( *Q `  B ) ) )
2911, 25, 28syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  B )  .Q  B
)  =  ( B  .Q  ( *Q `  B ) ) )
3029oveq2d 5668 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  A )  .Q  (
( *Q `  B
)  .Q  B ) )  =  ( ( *Q `  A )  .Q  ( B  .Q  ( *Q `  B ) ) ) )
31 recidnq 6952 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( B  .Q  ( *Q `  B ) )  =  1Q )
3231oveq2d 5668 . . . . 5  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( *Q `  A
)  .Q  ( B  .Q  ( *Q `  B ) ) )  =  ( ( *Q
`  A )  .Q  1Q ) )
33 mulidnq 6948 . . . . . 6  |-  ( ( *Q `  A )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  A
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  A ) )
341, 33syl 14 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( *Q `  A
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  A ) )
3532, 34sylan9eqr 2142 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  A )  .Q  ( B  .Q  ( *Q `  B ) ) )  =  ( *Q `  A ) )
3627, 30, 353eqtrd 2124 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  B
)  =  ( *Q
`  A ) )
3724, 36breq12d 3858 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( ( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  .Q  A )  <Q  (
( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  .Q  B )  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) ) )
386, 37bitrd 186 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   Q.cnq 6839   1Qc1q 6840    .Q cmq 6842   *Qcrq 6843    <Q cltq 6844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-mi 6865  df-lti 6866  df-mpq 6904  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-mqqs 6909  df-1nqqs 6910  df-rq 6911  df-ltnqqs 6912
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