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Theorem ltrnqg 7235
Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 7236. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltrnqg  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) ) )

Proof of Theorem ltrnqg
StepHypRef Expression
1 recclnq 7207 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( *Q `  A )  e. 
Q. )
2 recclnq 7207 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( *Q `  B )  e. 
Q. )
3 mulclnq 7191 . . . 4  |-  ( ( ( *Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( *Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  e.  Q. )
41, 2, 3syl2an 287 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  e.  Q. )
5 ltmnqg 7216 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  (
( *Q `  A
)  .Q  ( *Q
`  B ) )  e.  Q. )  -> 
( A  <Q  B  <->  ( (
( *Q `  A
)  .Q  ( *Q
`  B ) )  .Q  A )  <Q 
( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  B
) ) )
64, 5mpd3an3 1316 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( (
( *Q `  A
)  .Q  ( *Q
`  B ) )  .Q  A )  <Q 
( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  B
) ) )
7 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  A  e.  Q. )
8 mulcomnqg 7198 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  e.  Q.  /\  A  e.  Q. )  ->  (
( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  .Q  A )  =  ( A  .Q  (
( *Q `  A
)  .Q  ( *Q
`  B ) ) ) )
94, 7, 8syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  A
)  =  ( A  .Q  ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) ) ) )
101adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( *Q `  A
)  e.  Q. )
112adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( *Q `  B
)  e.  Q. )
12 mulassnqg 7199 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  ( *Q `  A )  e.  Q.  /\  ( *Q `  B )  e. 
Q. )  ->  (
( A  .Q  ( *Q `  A ) )  .Q  ( *Q `  B ) )  =  ( A  .Q  (
( *Q `  A
)  .Q  ( *Q
`  B ) ) ) )
137, 10, 11, 12syl3anc 1216 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( A  .Q  ( *Q `  A ) )  .Q  ( *Q
`  B ) )  =  ( A  .Q  ( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) ) ) )
14 mulclnq 7191 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  ( *Q `  A )  e.  Q. )  -> 
( A  .Q  ( *Q `  A ) )  e.  Q. )
157, 10, 14syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  ( *Q `  A ) )  e.  Q. )
16 mulcomnqg 7198 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .Q  ( *Q `  A ) )  e.  Q.  /\  ( *Q `  B )  e. 
Q. )  ->  (
( A  .Q  ( *Q `  A ) )  .Q  ( *Q `  B ) )  =  ( ( *Q `  B )  .Q  ( A  .Q  ( *Q `  A ) ) ) )
1715, 11, 16syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( A  .Q  ( *Q `  A ) )  .Q  ( *Q
`  B ) )  =  ( ( *Q
`  B )  .Q  ( A  .Q  ( *Q `  A ) ) ) )
189, 13, 173eqtr2d 2178 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  A
)  =  ( ( *Q `  B )  .Q  ( A  .Q  ( *Q `  A ) ) ) )
19 recidnq 7208 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  ( *Q `  A ) )  =  1Q )
2019oveq2d 5790 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( *Q `  B
)  .Q  ( A  .Q  ( *Q `  A ) ) )  =  ( ( *Q
`  B )  .Q  1Q ) )
21 mulidnq 7204 . . . . . 6  |-  ( ( *Q `  B )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  B
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  B ) )
222, 21syl 14 . . . . 5  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( *Q `  B
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  B ) )
2320, 22sylan9eq 2192 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  B )  .Q  ( A  .Q  ( *Q `  A ) ) )  =  ( *Q `  B ) )
2418, 23eqtrd 2172 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  A
)  =  ( *Q
`  B ) )
25 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  B  e.  Q. )
26 mulassnqg 7199 . . . . 5  |-  ( ( ( *Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( *Q `  B )  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  (
( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  .Q  B )  =  ( ( *Q `  A )  .Q  (
( *Q `  B
)  .Q  B ) ) )
2710, 11, 25, 26syl3anc 1216 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  B
)  =  ( ( *Q `  A )  .Q  ( ( *Q
`  B )  .Q  B ) ) )
28 mulcomnqg 7198 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  B
)  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  B )  .Q  B
)  =  ( B  .Q  ( *Q `  B ) ) )
2911, 25, 28syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  B )  .Q  B
)  =  ( B  .Q  ( *Q `  B ) ) )
3029oveq2d 5790 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  A )  .Q  (
( *Q `  B
)  .Q  B ) )  =  ( ( *Q `  A )  .Q  ( B  .Q  ( *Q `  B ) ) ) )
31 recidnq 7208 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( B  .Q  ( *Q `  B ) )  =  1Q )
3231oveq2d 5790 . . . . 5  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( *Q `  A
)  .Q  ( B  .Q  ( *Q `  B ) ) )  =  ( ( *Q
`  A )  .Q  1Q ) )
33 mulidnq 7204 . . . . . 6  |-  ( ( *Q `  A )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  A
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  A ) )
341, 33syl 14 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( *Q `  A
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  A ) )
3532, 34sylan9eqr 2194 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  A )  .Q  ( B  .Q  ( *Q `  B ) ) )  =  ( *Q `  A ) )
3627, 30, 353eqtrd 2176 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  B
)  =  ( *Q
`  A ) )
3724, 36breq12d 3942 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( ( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  .Q  A )  <Q  (
( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  .Q  B )  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) ) )
386, 37bitrd 187 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Q.cnq 7095   1Qc1q 7096    .Q cmq 7098   *Qcrq 7099    <Q cltq 7100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7119  df-mi 7121  df-lti 7122  df-mpq 7160  df-enq 7162  df-nqqs 7163  df-mqqs 7165  df-1nqqs 7166  df-rq 7167  df-ltnqqs 7168
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