Theorem archrecnq 8030

Description: Archimedean principle for fractions (reciprocal version). (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
archrecnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑗

Proof of Theorem archrecnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclnq 7759	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)
2		archnqq 7784	. . 3 ⊢ ((*Q‘𝐴) ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q )
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q )
4		nnnq 7789	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ N → [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ∈ Q)
5		ltrnqg 7787	. . . . 5 ⊢ (((*Q‘𝐴) ∈ Q ∧ [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ∈ Q) → ((*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴))))
6	1, 4, 5	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑗 ∈ N) → ((*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴))))
7		recrecnq 7761	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴)
8	7	breq2d 4142	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴)) ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑗 ∈ N) → ((*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴)) ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
10	6, 9	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑗 ∈ N) → ((*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
11	10	rexbidva 2547	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑗 ∈ N (*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ↔ ∃𝑗 ∈ N (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
12	3, 11	mpbid 147	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  1_oc1o 6680  [cec 6805  Ncnpi 7639   ~_Q ceq 7646  Qcnq 7647  *_Qcrq 7651   <_Q cltq 7652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-pli 7672  df-mi 7673  df-lti 7674  df-mpq 7712  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-mqqs 7717  df-1nqqs 7718  df-rq 7719  df-ltnqqs 7720

This theorem is used by:  archrecpr  8031  caucvgprlemm  8035  caucvgprlemloc  8042  caucvgprlemlim  8048  caucvgprprlemml  8061  caucvgprprlemloc  8070