Theorem archrecnq 7883

Description: Archimedean principle for fractions (reciprocal version). (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
archrecnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑗

Proof of Theorem archrecnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclnq 7612	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)
2		archnqq 7637	. . 3 ⊢ ((*Q‘𝐴) ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q )
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q )
4		nnnq 7642	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ N → [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ∈ Q)
5		ltrnqg 7640	. . . . 5 ⊢ (((*Q‘𝐴) ∈ Q ∧ [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ∈ Q) → ((*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴))))
6	1, 4, 5	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑗 ∈ N) → ((*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴))))
7		recrecnq 7614	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴)
8	7	breq2d 4100	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴)) ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑗 ∈ N) → ((*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴)) ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
10	6, 9	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑗 ∈ N) → ((*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
11	10	rexbidva 2529	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑗 ∈ N (*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ↔ ∃𝑗 ∈ N (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
12	3, 11	mpbid 147	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  1_oc1o 6575  [cec 6700  Ncnpi 7492   ~_Q ceq 7499  Qcnq 7500  *_Qcrq 7504   <_Q cltq 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-pli 7525  df-mi 7526  df-lti 7527  df-mpq 7565  df-enq 7567  df-nqqs 7568  df-mqqs 7570  df-1nqqs 7571  df-rq 7572  df-ltnqqs 7573

This theorem is referenced by:  archrecpr  7884  caucvgprlemm  7888  caucvgprlemloc  7895  caucvgprlemlim  7901  caucvgprprlemml  7914  caucvgprprlemloc  7923