Theorem archrecnq 7285

Description: Archimedean principle for fractions (reciprocal version). (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
archrecnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑗

Proof of Theorem archrecnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclnq 7014	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)
2		archnqq 7039	. . 3 ⊢ ((*Q‘𝐴) ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q )
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q )
4		nnnq 7044	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ N → [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ∈ Q)
5		ltrnqg 7042	. . . . 5 ⊢ (((*Q‘𝐴) ∈ Q ∧ [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ∈ Q) → ((*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴))))
6	1, 4, 5	syl2an 284	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑗 ∈ N) → ((*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴))))
7		recrecnq 7016	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴)
8	7	breq2d 3865	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴)) ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
9	8	adantr 271	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑗 ∈ N) → ((*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴)) ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
10	6, 9	bitrd 187	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑗 ∈ N) → ((*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
11	10	rexbidva 2378	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑗 ∈ N (*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ↔ ∃𝑗 ∈ N (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
12	3, 11	mpbid 146	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1439  ∃wrex 2361  ⟨cop 3455   class class class wbr 3853  ‘cfv 5030  1_oc1o 6190  [cec 6306  Ncnpi 6894   ~_Q ceq 6901  Qcnq 6902  *_Qcrq 6906   <_Q cltq 6907

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-eprel 4127  df-id 4131  df-iord 4204  df-on 4206  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-omul 6202  df-er 6308  df-ec 6310  df-qs 6314  df-ni 6926  df-pli 6927  df-mi 6928  df-lti 6929  df-mpq 6967  df-enq 6969  df-nqqs 6970  df-mqqs 6972  df-1nqqs 6973  df-rq 6974  df-ltnqqs 6975

This theorem is referenced by:  archrecpr  7286  caucvgprlemm  7290  caucvgprlemloc  7297  caucvgprlemlim  7303  caucvgprprlemml  7316  caucvgprprlemloc  7325