Theorem archrecnq 7789

Description: Archimedean principle for fractions (reciprocal version). (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
archrecnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑗

Proof of Theorem archrecnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclnq 7518	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)
2		archnqq 7543	. . 3 ⊢ ((*Q‘𝐴) ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q )
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q )
4		nnnq 7548	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ N → [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ∈ Q)
5		ltrnqg 7546	. . . . 5 ⊢ (((*Q‘𝐴) ∈ Q ∧ [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ∈ Q) → ((*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴))))
6	1, 4, 5	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑗 ∈ N) → ((*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴))))
7		recrecnq 7520	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴)
8	7	breq2d 4060	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴)) ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑗 ∈ N) → ((*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘(*Q‘𝐴)) ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
10	6, 9	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑗 ∈ N) → ((*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ↔ (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
11	10	rexbidva 2504	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑗 ∈ N (*Q‘𝐴) <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ↔ ∃𝑗 ∈ N (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴))
12	3, 11	mpbid 147	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑗 ∈ N (*Q‘[⟨𝑗, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486  ⟨cop 3638   class class class wbr 4048  ‘cfv 5277  1_oc1o 6505  [cec 6628  Ncnpi 7398   ~_Q ceq 7405  Qcnq 7406  *_Qcrq 7410   <_Q cltq 7411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-eprel 4341  df-id 4345  df-iord 4418  df-on 4420  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-1o 6512  df-oadd 6516  df-omul 6517  df-er 6630  df-ec 6632  df-qs 6636  df-ni 7430  df-pli 7431  df-mi 7432  df-lti 7433  df-mpq 7471  df-enq 7473  df-nqqs 7474  df-mqqs 7476  df-1nqqs 7477  df-rq 7478  df-ltnqqs 7479

This theorem is referenced by:  archrecpr  7790  caucvgprlemm  7794  caucvgprlemloc  7801  caucvgprlemlim  7807  caucvgprprlemml  7820  caucvgprprlemloc  7829