Proof of Theorem caucvgprlemm
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fveq2 5496 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
`](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
2 | 1 | breq2d 4001 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif)
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
3 | | caucvgpr.bnd |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
4 | | 1pi 7277 |
. . . . . 6
![N. N.](caln.gif) |
5 | 4 | a1i 9 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![N. N.](caln.gif) ![) )](rp.gif) |
6 | 2, 3, 5 | rspcdva 2839 |
. . . 4
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
7 | | ltrelnq 7327 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![) )](rp.gif) |
8 | 7 | brel 4663 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
9 | 8 | simpld 111 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![) )](rp.gif) |
10 | | halfnqq 7372 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
11 | 6, 9, 10 | 3syl 17 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
12 | | simplr 525 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![A A](_ca.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![) )](rp.gif) |
13 | | archrecnq 7625 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![s
s](_s.gif) ![) )](rp.gif) |
14 | 12, 13 | syl 14 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![A A](_ca.gif) ![E. E.](exists.gif)
![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![s s](_s.gif) ![) )](rp.gif) |
15 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![A A](_ca.gif) ![N. N.](caln.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![s
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16 | | simplr 525 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![A A](_ca.gif) ![N. N.](caln.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![s
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17 | | nnnq 7384 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![) )](rp.gif) |
18 | | recclnq 7354 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<.
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![Q. Q.](calq.gif) ![) )](rp.gif) |
19 | 16, 17, 18 | 3syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![A A](_ca.gif) ![N. N.](caln.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![s
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20 | 12 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![A A](_ca.gif) ![N. N.](caln.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![s
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21 | | ltanqg 7362 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif)
![Q. Q.](calq.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) ![(
(](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
22 | 19, 20, 20, 21 | syl3anc 1233 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![A A](_ca.gif) ![N. N.](caln.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![s
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(](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![`
`](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
23 | 15, 22 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![A A](_ca.gif) ![N. N.](caln.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![s
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24 | | simpllr 529 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![A A](_ca.gif) ![N. N.](caln.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![s
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25 | 23, 24 | breqtrd 4015 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![A A](_ca.gif) ![N. N.](caln.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![s
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26 | | rsp 2517 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif)
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif)
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![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
27 | 3, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
28 | 27 | ad4antr 491 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![A A](_ca.gif) ![N. N.](caln.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![s
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)](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
29 | 16, 28 | mpd 13 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![A A](_ca.gif) ![N. N.](caln.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![s
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)](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
30 | | ltsonq 7360 |
. . . . . . . . . . 11
![Q. Q.](calq.gif) |
31 | 30, 7 | sotri 5006 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![)
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32 | 25, 29, 31 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![A A](_ca.gif) ![N. N.](caln.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![s
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33 | 32 | ex 114 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![Q. Q.](calq.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![A A](_ca.gif) ![N. N.](caln.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![`
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)](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
34 | 33 | reximdva 2572 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![A A](_ca.gif) ![(
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)](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
35 | 14, 34 | mpd 13 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![Q. Q.](calq.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![A A](_ca.gif) ![E. E.](exists.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
36 | | oveq1 5860 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![`
`](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
37 | 36 | breq1d 3999 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![j j](_j.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif)
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(](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
38 | 37 | rexbidv 2471 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif)
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39 | | caucvgpr.lim |
. . . . . . . . 9
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40 | 39 | fveq2i 5499 |
. . . . . . . 8
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41 | | nqex 7325 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 41 | rabex 4133 |
. . . . . . . . 9
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43 | 41 | rabex 4133 |
. . . . . . . . 9
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44 | 42, 43 | op1st 6125 |
. . . . . . . 8
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45 | 40, 44 | eqtri 2191 |
. . . . . . 7
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46 | 38, 45 | elrab2 2889 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![1st 1st](_1st.gif) ![` `](backtick.gif) ![L L](_cl.gif) ![( (](lp.gif)
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47 | 12, 35, 46 | sylanbrc 415 |
. . . . 5
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48 | 47 | ex 114 |
. . . 4
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49 | 48 | reximdva 2572 |
. . 3
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50 | 11, 49 | mpd 13 |
. 2
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51 | | caucvgpr.f |
. . . . . 6
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52 | 51, 5 | ffvelrnd 5632 |
. . . . 5
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53 | | 1nq 7328 |
. . . . 5
![Q. Q.](calq.gif) |
54 | | addclnq 7337 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![1o 1o](_1o.gif)
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Q.](calq.gif) ![) )](rp.gif) |
55 | 52, 53, 54 | sylancl 411 |
. . . 4
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56 | | addclnq 7337 |
. . . 4
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Q.](calq.gif) ![) )](rp.gif) |
57 | 55, 53, 56 | sylancl 411 |
. . 3
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58 | | df-1nqqs 7313 |
. . . . . . . . 9
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59 | 58 | fveq2i 5499 |
. . . . . . . 8
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60 | | rec1nq 7357 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![`
`](backtick.gif) ![1Q 1Q](_1q.gif) ![1Q 1Q](_1q.gif) |
61 | 59, 60 | eqtr3i 2193 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![`
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62 | 61 | oveq2i 5864 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![( (](lp.gif) ![*Q *Q](_astq.gif) ![` `](backtick.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![1Q 1Q](_1q.gif) ![) )](rp.gif) |
63 | | ltaddnq 7369 |
. . . . . . 7
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64 | 55, 53, 63 | sylancl 411 |
. . . . . 6
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65 | 62, 64 | eqbrtrid 4024 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![1o 1o](_1o.gif)
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66 | | opeq1 3765 |
. . . . . . . . . 10
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67 | 66 | eceq1d 6549 |
. . . . . . . . 9
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68 | 67 | fveq2d 5500 |
. . . . . . . 8
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69 | 1, 68 | oveq12d 5871 |
. . . . . . 7
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70 | 69 | breq1d 3999 |
. . . . . 6
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71 | 70 | rspcev 2834 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![1o 1o](_1o.gif)
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72 | 5, 65, 71 | syl2anc 409 |
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