Theorem opprbasg 13870

Description: Base set of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	|- O = (oppr ` R )
opprbas.2	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
opprbasg	|- ( R e. V -> B = ( Base ` O ) )

Proof of Theorem opprbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.2	. 2 |- B = ( Base ` R )
2		opprbas.1	. . 3 |- O = (oppr ` R )
3		baseslid 12922	. . 3 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
4		basendxnmulrndx 12999	. . 3 |- ( Base ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
5	2, 3, 4	opprsllem 13869	. 2 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` O ) )
6	1, 5	eqtrid 2250	1 |- ( R e. V -> B = ( Base ` O ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5272   Basecbs 12865  opp_rcoppr 13862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-tpos 6333  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-ltxr 8114  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-sets 12872  df-mulr 12956  df-oppr 13863

This theorem is referenced by:  opprrng  13872  opprrngbg  13873  opprring  13874  opprringbg  13875  oppr0g  13876  oppr1g  13877  opprnegg  13878  opprsubgg  13879  mulgass3  13880  1unit  13902  opprunitd  13905  crngunit  13906  unitmulcl  13908  unitgrp  13911  unitnegcl  13925  unitpropdg  13943  rhmopp  13971  elrhmunit  13972  subrguss  14031  subrgunit  14034  opprdomnbg  14069  isridlrng  14277  isridl  14299  ridl1  14306  2idlcpblrng  14318  crngridl  14325