Theorem opprbasg 13707

Description: Base set of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	|- O = (oppr ` R )
opprbas.2	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
opprbasg	|- ( R e. V -> B = ( Base ` O ) )

Proof of Theorem opprbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.2	. 2 |- B = ( Base ` R )
2		opprbas.1	. . 3 |- O = (oppr ` R )
3		baseslid 12760	. . 3 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
4		basendxnmulrndx 12836	. . 3 |- ( Base ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
5	2, 3, 4	opprsllem 13706	. 2 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` O ) )
6	1, 5	eqtrid 2241	1 |- ( R e. V -> B = ( Base ` O ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259   Basecbs 12703  opp_rcoppr 13699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-tpos 6312  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-mulr 12794  df-oppr 13700

This theorem is referenced by:  opprrng  13709  opprrngbg  13710  opprring  13711  opprringbg  13712  oppr0g  13713  oppr1g  13714  opprnegg  13715  opprsubgg  13716  mulgass3  13717  1unit  13739  opprunitd  13742  crngunit  13743  unitmulcl  13745  unitgrp  13748  unitnegcl  13762  unitpropdg  13780  rhmopp  13808  elrhmunit  13809  subrguss  13868  subrgunit  13871  opprdomnbg  13906  isridlrng  14114  isridl  14136  ridl1  14143  2idlcpblrng  14155  crngridl  14162