Theorem opprbasg 14169

Description: Base set of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	|- O = (oppr ` R )
opprbas.2	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
opprbasg	|- ( R e. V -> B = ( Base ` O ) )

Proof of Theorem opprbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.2	. 2 |- B = ( Base ` R )
2		opprbas.1	. . 3 |- O = (oppr ` R )
3		baseslid 13220	. . 3 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
4		basendxnmulrndx 13297	. . 3 |- ( Base ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
5	2, 3, 4	opprsllem 14168	. 2 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` O ) )
6	1, 5	eqtrid 2276	1 |- ( R e. V -> B = ( Base ` O ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333   Basecbs 13162  opp_rcoppr 14161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-tpos 6454  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-mulr 13254  df-oppr 14162

This theorem is referenced by:  opprrng  14171  opprrngbg  14172  opprring  14173  opprringbg  14174  oppr0g  14175  oppr1g  14176  opprnegg  14177  opprsubgg  14178  mulgass3  14179  1unit  14202  opprunitd  14205  crngunit  14206  unitmulcl  14208  unitgrp  14211  unitnegcl  14225  unitpropdg  14243  rhmopp  14271  elrhmunit  14272  subrguss  14331  subrgunit  14334  opprdomnbg  14370  isridlrng  14578  isridl  14600  ridl1  14607  2idlcpblrng  14619  crngridl  14626