Theorem ressmulrg 13499

Description: .r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	|- S = ( R ↾s A )
ressmulr.2	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ressmulrg	|- ( ( A e. V /\ R e. W ) -> .x. = ( .r ` S ) )

Proof of Theorem ressmulrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 |- S = ( R ↾s A )
2		ressmulr.2	. 2 |- .x. = ( .r ` R )
3		mulrslid 13486	. 2 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
4		basendxnmulrndx 13488	. . 3 |- ( Base ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
5	4	necomi 2505	. 2 |- ( .r ` ndx ) =/= ( Base ` ndx )
6		simpr 110	. 2 |- ( ( A e. V /\ R e. W ) -> R e. W )
7		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. V /\ R e. W ) -> A e. V )
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	resseqnbasd 13427	1 |- ( ( A e. V /\ R e. W ) -> .x. = ( .r ` S ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ndxcnx 13349   Basecbs 13352   ↾_s cress 13353   .rcmulr 13432

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-iress 13360  df-mulr 13445

This theorem is used by:  mgpress  14230  rngressid  14253  ringressid  14368  rdivmuldivd  14451  subrngmcl  14517  issubrng2  14518  subrngpropd  14524  subrg1  14539  subrgmcl  14541  subrgdvds  14543  subrguss  14544  subrginv  14545  subrgdv  14546  subrgunit  14547  subrgugrp  14548  issubrg2  14549  subrgpropd  14561  sralmod  14787  rnglidlmmgm  14833  rnglidlmsgrp  14834  rnglidlrng  14835  zringmulr  14934  issubassa3  15012