Theorem ressmulrg 13358

Description: .r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	|- S = ( R ↾s A )
ressmulr.2	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ressmulrg	|- ( ( A e. V /\ R e. W ) -> .x. = ( .r ` S ) )

Proof of Theorem ressmulrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 |- S = ( R ↾s A )
2		ressmulr.2	. 2 |- .x. = ( .r ` R )
3		mulrslid 13345	. 2 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
4		basendxnmulrndx 13347	. . 3 |- ( Base ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
5	4	necomi 2497	. 2 |- ( .r ` ndx ) =/= ( Base ` ndx )
6		simpr 110	. 2 |- ( ( A e. V /\ R e. W ) -> R e. W )
7		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. V /\ R e. W ) -> A e. V )
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	resseqnbasd 13286	1 |- ( ( A e. V /\ R e. W ) -> .x. = ( .r ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   ndxcnx 13209   Basecbs 13212   ↾_s cress 13213   .rcmulr 13291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-mulr 13304

This theorem is referenced by:  mgpress  14075  rngressid  14098  ringressid  14207  rdivmuldivd  14289  subrngmcl  14354  issubrng2  14355  subrngpropd  14361  subrg1  14376  subrgmcl  14378  subrgdvds  14380  subrguss  14381  subrginv  14382  subrgdv  14383  subrgunit  14384  subrgugrp  14385  issubrg2  14386  subrgpropd  14398  sralmod  14598  rnglidlmmgm  14644  rnglidlmsgrp  14645  rnglidlrng  14646  zringmulr  14747