Theorem ressmulrg 13557

Description: .r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	|- S = ( R ↾s A )
ressmulr.2	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ressmulrg	|- ( ( A e. V /\ R e. W ) -> .x. = ( .r ` S ) )

Proof of Theorem ressmulrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 |- S = ( R ↾s A )
2		ressmulr.2	. 2 |- .x. = ( .r ` R )
3		mulrslid 13544	. 2 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
4		basendxnmulrndx 13546	. . 3 |- ( Base ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
5	4	necomi 2505	. 2 |- ( .r ` ndx ) =/= ( Base ` ndx )
6		simpr 110	. 2 |- ( ( A e. V /\ R e. W ) -> R e. W )
7		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. V /\ R e. W ) -> A e. V )
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	resseqnbasd 13485	1 |- ( ( A e. V /\ R e. W ) -> .x. = ( .r ` S ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ndxcnx 13406   Basecbs 13409   ↾_s cress 13410   .rcmulr 13490

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-sets 13416  df-iress 13417  df-mulr 13503

This theorem is used by:  mgpress  14336  rngressid  14359  ringressid  14476  rdivmuldivd  14559  subrngmcl  14625  issubrng2  14626  subrngpropd  14632  subrg1  14647  subrgmcl  14649  subrgdvds  14651  subrguss  14652  subrginv  14653  subrgdv  14654  subrgunit  14655  subrgugrp  14656  issubrg2  14657  subrgpropd  14669  sralmod  14895  rnglidlmmgm  14941  rnglidlmsgrp  14942  rnglidlrng  14943  zringmulr  15042  issubassa3  15120