Theorem ressmulrg 12822

Description: .r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	|- S = ( R ↾s A )
ressmulr.2	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ressmulrg	|- ( ( A e. V /\ R e. W ) -> .x. = ( .r ` S ) )

Proof of Theorem ressmulrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 |- S = ( R ↾s A )
2		ressmulr.2	. 2 |- .x. = ( .r ` R )
3		mulrslid 12809	. 2 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
4		basendxnmulrndx 12811	. . 3 |- ( Base ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
5	4	necomi 2452	. 2 |- ( .r ` ndx ) =/= ( Base ` ndx )
6		simpr 110	. 2 |- ( ( A e. V /\ R e. W ) -> R e. W )
7		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. V /\ R e. W ) -> A e. V )
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	resseqnbasd 12751	1 |- ( ( A e. V /\ R e. W ) -> .x. = ( .r ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   ndxcnx 12675   Basecbs 12678   ↾_s cress 12679   .rcmulr 12756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-mulr 12769

This theorem is referenced by:  mgpress  13487  rngressid  13510  ringressid  13619  rdivmuldivd  13700  subrngmcl  13765  issubrng2  13766  subrngpropd  13772  subrg1  13787  subrgmcl  13789  subrgdvds  13791  subrguss  13792  subrginv  13793  subrgdv  13794  subrgunit  13795  subrgugrp  13796  issubrg2  13797  subrgpropd  13809  sralmod  14006  rnglidlmmgm  14052  rnglidlmsgrp  14053  rnglidlrng  14054  zringmulr  14155