Theorem btwnapz 9787

Description: A number between an integer and its successor is apart from any integer. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
btwnapz.a	|- ( ph -> A e. ZZ )
btwnapz.b	|- ( ph -> B e. RR )
btwnapz.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
btwnapz.ab	|- ( ph -> A < B )
btwnapz.ba	|- ( ph -> B < ( A + 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
btwnapz	|- ( ph -> B # C )

Proof of Theorem btwnapz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnapz.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ZZ )
2	1	zred 9779	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> C e. RR )
4		btwnapz.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> B e. RR )
6		btwnapz.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ZZ )
7	6	zred 9779	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> A e. RR )
9		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> C <_ A )
10		btwnapz.ab	. . . . 5 |- ( ph -> A < B )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> A < B )
12	3, 8, 5, 9, 11	lelttrd 8458	. . 3 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> C < B )
13	3, 5, 12	gtapd 8973	. 2 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> B # C )
14	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B e. RR )
15	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A < C ) -> C e. RR )
16		peano2re 8469	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( A + 1 ) e. RR )
17	7, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. RR )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < C ) -> ( A + 1 ) e. RR )
19		btwnapz.ba	. . . . 5 |- ( ph -> B < ( A + 1 ) )
20	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B < ( A + 1 ) )
21		zltp1le 9710	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A < C <-> ( A + 1 ) <_ C ) )
22	6, 1, 21	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( A < C <-> ( A + 1 ) <_ C ) )
23	22	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < C ) -> ( A + 1 ) <_ C )
24	14, 18, 15, 20, 23	ltletrd 8758	. . 3 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B < C )
25	14, 15, 24	ltapd 8974	. 2 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B # C )
26		zlelttric 9700	. . 3 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( C <_ A \/ A < C ) )
27	1, 6, 26	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( C <_ A \/ A < C ) )
28	13, 25, 27	mpjaodan 810	1 |- ( ph -> B # C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   RRcr 8184   1c1 8186   + caddc 8188   < clt 8366   <_ cle 8367   # cap 8917   ZZcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656

This theorem is used by:  eirraplem  12569