Theorem btwnapz 9354

Description: A number between an integer and its successor is apart from any integer. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
btwnapz.a	|- ( ph -> A e. ZZ )
btwnapz.b	|- ( ph -> B e. RR )
btwnapz.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
btwnapz.ab	|- ( ph -> A < B )
btwnapz.ba	|- ( ph -> B < ( A + 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
btwnapz	|- ( ph -> B # C )

Proof of Theorem btwnapz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnapz.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ZZ )
2	1	zred 9346	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> C e. RR )
4		btwnapz.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> B e. RR )
6		btwnapz.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ZZ )
7	6	zred 9346	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> A e. RR )
9		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> C <_ A )
10		btwnapz.ab	. . . . 5 |- ( ph -> A < B )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> A < B )
12	3, 8, 5, 9, 11	lelttrd 8056	. . 3 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> C < B )
13	3, 5, 12	gtapd 8568	. 2 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> B # C )
14	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B e. RR )
15	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A < C ) -> C e. RR )
16		peano2re 8067	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( A + 1 ) e. RR )
17	7, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. RR )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < C ) -> ( A + 1 ) e. RR )
19		btwnapz.ba	. . . . 5 |- ( ph -> B < ( A + 1 ) )
20	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B < ( A + 1 ) )
21		zltp1le 9278	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A < C <-> ( A + 1 ) <_ C ) )
22	6, 1, 21	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( A < C <-> ( A + 1 ) <_ C ) )
23	22	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < C ) -> ( A + 1 ) <_ C )
24	14, 18, 15, 20, 23	ltletrd 8354	. . 3 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B < C )
25	14, 15, 24	ltapd 8569	. 2 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B # C )
26		zlelttric 9269	. . 3 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( C <_ A \/ A < C ) )
27	1, 6, 26	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( C <_ A \/ A < C ) )
28	13, 25, 27	mpjaodan 798	1 |- ( ph -> B # C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   e. wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   RRcr 7785   1c1 7787   + caddc 7789   < clt 7966   <_ cle 7967   # cap 8512   ZZcz 9224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225

This theorem is referenced by:  eirraplem  11750