Theorem btwnapz 9321

Description: A number between an integer and its successor is apart from any integer. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
btwnapz.a	|- ( ph -> A e. ZZ )
btwnapz.b	|- ( ph -> B e. RR )
btwnapz.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
btwnapz.ab	|- ( ph -> A < B )
btwnapz.ba	|- ( ph -> B < ( A + 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
btwnapz	|- ( ph -> B # C )

Proof of Theorem btwnapz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnapz.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ZZ )
2	1	zred 9313	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
3	2	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> C e. RR )
4		btwnapz.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
5	4	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> B e. RR )
6		btwnapz.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ZZ )
7	6	zred 9313	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
8	7	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> A e. RR )
9		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> C <_ A )
10		btwnapz.ab	. . . . 5 |- ( ph -> A < B )
11	10	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> A < B )
12	3, 8, 5, 9, 11	lelttrd 8023	. . 3 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> C < B )
13	3, 5, 12	gtapd 8535	. 2 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> B # C )
14	4	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B e. RR )
15	2	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ A < C ) -> C e. RR )
16		peano2re 8034	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( A + 1 ) e. RR )
17	7, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. RR )
18	17	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < C ) -> ( A + 1 ) e. RR )
19		btwnapz.ba	. . . . 5 |- ( ph -> B < ( A + 1 ) )
20	19	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B < ( A + 1 ) )
21		zltp1le 9245	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A < C <-> ( A + 1 ) <_ C ) )
22	6, 1, 21	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> ( A < C <-> ( A + 1 ) <_ C ) )
23	22	biimpa 294	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < C ) -> ( A + 1 ) <_ C )
24	14, 18, 15, 20, 23	ltletrd 8321	. . 3 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B < C )
25	14, 15, 24	ltapd 8536	. 2 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B # C )
26		zlelttric 9236	. . 3 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( C <_ A \/ A < C ) )
27	1, 6, 26	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( C <_ A \/ A < C ) )
28	13, 25, 27	mpjaodan 788	1 |- ( ph -> B # C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   RRcr 7752   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   # cap 8479   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  eirraplem  11717