Theorem btwnapz 9708

Description: A number between an integer and its successor is apart from any integer. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
btwnapz.a	|- ( ph -> A e. ZZ )
btwnapz.b	|- ( ph -> B e. RR )
btwnapz.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
btwnapz.ab	|- ( ph -> A < B )
btwnapz.ba	|- ( ph -> B < ( A + 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
btwnapz	|- ( ph -> B # C )

Proof of Theorem btwnapz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnapz.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ZZ )
2	1	zred 9700	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> C e. RR )
4		btwnapz.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> B e. RR )
6		btwnapz.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ZZ )
7	6	zred 9700	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> A e. RR )
9		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> C <_ A )
10		btwnapz.ab	. . . . 5 |- ( ph -> A < B )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> A < B )
12	3, 8, 5, 9, 11	lelttrd 8398	. . 3 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> C < B )
13	3, 5, 12	gtapd 8911	. 2 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> B # C )
14	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B e. RR )
15	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A < C ) -> C e. RR )
16		peano2re 8409	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( A + 1 ) e. RR )
17	7, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. RR )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < C ) -> ( A + 1 ) e. RR )
19		btwnapz.ba	. . . . 5 |- ( ph -> B < ( A + 1 ) )
20	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B < ( A + 1 ) )
21		zltp1le 9632	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A < C <-> ( A + 1 ) <_ C ) )
22	6, 1, 21	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( A < C <-> ( A + 1 ) <_ C ) )
23	22	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < C ) -> ( A + 1 ) <_ C )
24	14, 18, 15, 20, 23	ltletrd 8697	. . 3 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B < C )
25	14, 15, 24	ltapd 8912	. 2 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B # C )
26		zlelttric 9622	. . 3 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( C <_ A \/ A < C ) )
27	1, 6, 26	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( C <_ A \/ A < C ) )
28	13, 25, 27	mpjaodan 806	1 |- ( ph -> B # C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   RRcr 8126   1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   <_ cle 8309   # cap 8855   ZZcz 9577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578

This theorem is referenced by:  eirraplem  12463