Theorem btwnapz 9385

Description: A number between an integer and its successor is apart from any integer. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
btwnapz.a	|- ( ph -> A e. ZZ )
btwnapz.b	|- ( ph -> B e. RR )
btwnapz.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
btwnapz.ab	|- ( ph -> A < B )
btwnapz.ba	|- ( ph -> B < ( A + 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
btwnapz	|- ( ph -> B # C )

Proof of Theorem btwnapz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnapz.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ZZ )
2	1	zred 9377	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> C e. RR )
4		btwnapz.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> B e. RR )
6		btwnapz.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ZZ )
7	6	zred 9377	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> A e. RR )
9		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> C <_ A )
10		btwnapz.ab	. . . . 5 |- ( ph -> A < B )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> A < B )
12	3, 8, 5, 9, 11	lelttrd 8084	. . 3 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> C < B )
13	3, 5, 12	gtapd 8596	. 2 |- ( ( ph /\ C <_ A ) -> B # C )
14	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B e. RR )
15	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A < C ) -> C e. RR )
16		peano2re 8095	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( A + 1 ) e. RR )
17	7, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. RR )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < C ) -> ( A + 1 ) e. RR )
19		btwnapz.ba	. . . . 5 |- ( ph -> B < ( A + 1 ) )
20	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B < ( A + 1 ) )
21		zltp1le 9309	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A < C <-> ( A + 1 ) <_ C ) )
22	6, 1, 21	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( A < C <-> ( A + 1 ) <_ C ) )
23	22	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < C ) -> ( A + 1 ) <_ C )
24	14, 18, 15, 20, 23	ltletrd 8382	. . 3 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B < C )
25	14, 15, 24	ltapd 8597	. 2 |- ( ( ph /\ A < C ) -> B # C )
26		zlelttric 9300	. . 3 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( C <_ A \/ A < C ) )
27	1, 6, 26	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( C <_ A \/ A < C ) )
28	13, 25, 27	mpjaodan 798	1 |- ( ph -> B # C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   RRcr 7812   1c1 7814   + caddc 7816   < clt 7994   <_ cle 7995   # cap 8540   ZZcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256

This theorem is referenced by:  eirraplem  11786