Theorem btwnapz 9726

Description: A number between an integer and its successor is apart from any integer. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
btwnapz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
btwnapz.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
btwnapz.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
btwnapz.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
btwnapz.ba	⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐴 + 1))

Assertion

Ref	Expression
btwnapz	⊢ (𝜑 → 𝐵 # 𝐶)

Proof of Theorem btwnapz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnapz.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2	1	zred 9718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		btwnapz.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		btwnapz.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	zred 9718	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 ≤ 𝐴)
10		btwnapz.ab	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
12	3, 8, 5, 9, 11	lelttrd 8414	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 < 𝐵)
13	3, 5, 12	gtapd 8928	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐵 # 𝐶)
14	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
16		peano2re 8425	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
17	7, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
19		btwnapz.ba	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐴 + 1))
20	19	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 < (𝐴 + 1))
21		zltp1le 9649	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
22	6, 1, 21	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
23	22	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
24	14, 18, 15, 20, 23	ltletrd 8714	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
25	14, 15, 24	ltapd 8929	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 # 𝐶)
26		zlelttric 9639	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐶 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐶))
27	1, 6, 26	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐶))
28	13, 25, 27	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℝcr 8142  1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   ≤ cle 8325   # cap 8872  ℤcz 9594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595

This theorem is referenced by:  eirraplem  12488