Theorem btwnapz 9342

Description: A number between an integer and its successor is apart from any integer. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
btwnapz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
btwnapz.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
btwnapz.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
btwnapz.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
btwnapz.ba	⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐴 + 1))

Assertion

Ref	Expression
btwnapz	⊢ (𝜑 → 𝐵 # 𝐶)

Proof of Theorem btwnapz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnapz.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2	1	zred 9334	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3	2	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		btwnapz.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		btwnapz.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	zred 9334	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 ≤ 𝐴)
10		btwnapz.ab	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
11	10	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
12	3, 8, 5, 9, 11	lelttrd 8044	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 < 𝐵)
13	3, 5, 12	gtapd 8556	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐵 # 𝐶)
14	4	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	2	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
16		peano2re 8055	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
17	7, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
18	17	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
19		btwnapz.ba	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐴 + 1))
20	19	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 < (𝐴 + 1))
21		zltp1le 9266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
22	6, 1, 21	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
23	22	biimpa 294	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
24	14, 18, 15, 20, 23	ltletrd 8342	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
25	14, 15, 24	ltapd 8557	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 # 𝐶)
26		zlelttric 9257	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐶 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐶))
27	1, 6, 26	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐶))
28	13, 25, 27	mpjaodan 793	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   ≤ cle 7955   # cap 8500  ℤcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by:  eirraplem  11739