Theorem btwnapz 9518

Description: A number between an integer and its successor is apart from any integer. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
btwnapz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
btwnapz.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
btwnapz.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
btwnapz.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
btwnapz.ba	⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐴 + 1))

Assertion

Ref	Expression
btwnapz	⊢ (𝜑 → 𝐵 # 𝐶)

Proof of Theorem btwnapz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnapz.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2	1	zred 9510	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		btwnapz.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		btwnapz.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	zred 9510	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 ≤ 𝐴)
10		btwnapz.ab	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
12	3, 8, 5, 9, 11	lelttrd 8212	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 < 𝐵)
13	3, 5, 12	gtapd 8725	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐵 # 𝐶)
14	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
16		peano2re 8223	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
17	7, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
19		btwnapz.ba	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐴 + 1))
20	19	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 < (𝐴 + 1))
21		zltp1le 9442	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
22	6, 1, 21	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
23	22	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
24	14, 18, 15, 20, 23	ltletrd 8511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
25	14, 15, 24	ltapd 8726	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 # 𝐶)
26		zlelttric 9432	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐶 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐶))
27	1, 6, 26	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐶))
28	13, 25, 27	mpjaodan 800	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4050  (class class class)co 5956  ℝcr 7939  1c1 7941   + caddc 7943   < clt 8122   ≤ cle 8123   # cap 8669  ℤcz 9387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-inn 9052  df-n0 9311  df-z 9388

This theorem is referenced by:  eirraplem  12158