ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  btwnapz GIF version

Theorem btwnapz 9329
Description: A number between an integer and its successor is apart from any integer. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
btwnapz.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
btwnapz.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
btwnapz.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
btwnapz.ab (𝜑𝐴 < 𝐵)
btwnapz.ba (𝜑𝐵 < (𝐴 + 1))
Assertion
Ref Expression
btwnapz (𝜑𝐵 # 𝐶)

Proof of Theorem btwnapz
StepHypRef Expression
1 btwnapz.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
21zred 9321 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
32adantr 274 . . 3 ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
4 btwnapz.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 274 . . 3 ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 btwnapz.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
76zred 9321 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶𝐴)
10 btwnapz.ab . . . . 5 (𝜑𝐴 < 𝐵)
1110adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
123, 8, 5, 9, 11lelttrd 8031 . . 3 ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 < 𝐵)
133, 5, 12gtapd 8543 . 2 ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐵 # 𝐶)
144adantr 274 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
152adantr 274 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
16 peano2re 8042 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
177, 16syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
1817adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 𝐶) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
19 btwnapz.ba . . . . 5 (𝜑𝐵 < (𝐴 + 1))
2019adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 𝐶) → 𝐵 < (𝐴 + 1))
21 zltp1le 9253 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
226, 1, 21syl2anc 409 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
2322biimpa 294 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 𝐶) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
2414, 18, 15, 20, 23ltletrd 8329 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
2514, 15, 24ltapd 8544 . 2 ((𝜑𝐴 < 𝐶) → 𝐵 # 𝐶)
26 zlelttric 9244 . . 3 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐶𝐴𝐴 < 𝐶))
271, 6, 26syl2anc 409 . 2 (𝜑 → (𝐶𝐴𝐴 < 𝐶))
2813, 25, 27mpjaodan 793 1 (𝜑𝐵 # 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 703  wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850  cr 7760  1c1 7762   + caddc 7764   < clt 7941  cle 7942   # cap 8487  cz 9199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200
This theorem is referenced by:  eirraplem  11726
  Copyright terms: Public domain W3C validator