Theorem btwnapz 9473

Description: A number between an integer and its successor is apart from any integer. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
btwnapz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
btwnapz.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
btwnapz.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
btwnapz.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
btwnapz.ba	⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐴 + 1))

Assertion

Ref	Expression
btwnapz	⊢ (𝜑 → 𝐵 # 𝐶)

Proof of Theorem btwnapz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnapz.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2	1	zred 9465	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		btwnapz.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		btwnapz.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	zred 9465	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 ≤ 𝐴)
10		btwnapz.ab	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
12	3, 8, 5, 9, 11	lelttrd 8168	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 < 𝐵)
13	3, 5, 12	gtapd 8681	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐵 # 𝐶)
14	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
16		peano2re 8179	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
17	7, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
19		btwnapz.ba	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐴 + 1))
20	19	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 < (𝐴 + 1))
21		zltp1le 9397	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
22	6, 1, 21	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
23	22	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
24	14, 18, 15, 20, 23	ltletrd 8467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
25	14, 15, 24	ltapd 8682	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 # 𝐶)
26		zlelttric 9388	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐶 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐶))
27	1, 6, 26	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐶))
28	13, 25, 27	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  1c1 7897   + caddc 7899   < clt 8078   ≤ cle 8079   # cap 8625  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344

This theorem is referenced by:  eirraplem  11959