Theorem btwnapz 9593

Description: A number between an integer and its successor is apart from any integer. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
btwnapz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
btwnapz.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
btwnapz.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
btwnapz.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
btwnapz.ba	⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐴 + 1))

Assertion

Ref	Expression
btwnapz	⊢ (𝜑 → 𝐵 # 𝐶)

Proof of Theorem btwnapz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnapz.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2	1	zred 9585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		btwnapz.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		btwnapz.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	zred 9585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 ≤ 𝐴)
10		btwnapz.ab	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
12	3, 8, 5, 9, 11	lelttrd 8287	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐶 < 𝐵)
13	3, 5, 12	gtapd 8800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) → 𝐵 # 𝐶)
14	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
16		peano2re 8298	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
17	7, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
19		btwnapz.ba	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐴 + 1))
20	19	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 < (𝐴 + 1))
21		zltp1le 9517	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
22	6, 1, 21	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
23	22	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
24	14, 18, 15, 20, 23	ltletrd 8586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
25	14, 15, 24	ltapd 8801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐶) → 𝐵 # 𝐶)
26		zlelttric 9507	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐶 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐶))
27	1, 6, 26	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐶))
28	13, 25, 27	mpjaodan 803	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010  ℝcr 8014  1c1 8016   + caddc 8018   < clt 8197   ≤ cle 8198   # cap 8744  ℤcz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463

This theorem is referenced by:  eirraplem  12309