Theorem clim0c 11451

Description: Express the predicate F converges to 0. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim0.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
clim0.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
clim0.3	|- ( ph -> F e. V )
clim0.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
clim0c.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
clim0c	|- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < x ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   j, M   ph, j, k, x   j, Z, k

Allowed substitution hints:   B( x, j, k)   M( x, k)   V( x, j, k)   Z( x)

Proof of Theorem clim0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim0.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		clim0.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		clim0.3	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
4		clim0.4	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
5		0cnd 8019	. . 3 |- ( ph -> 0 e. CC )
6		clim0c.6	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	clim2c 11449	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( B - 0 ) ) < x ) )
8	1	uztrn2 9619	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
9	6	subid1d 8326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( B - 0 ) = B )
10	9	fveq2d 5562	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( B - 0 ) ) = ( abs ` B ) )
11	10	breq1d 4043	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> ( abs ` B ) < x ) )
12	8, 11	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> ( abs ` B ) < x ) )
13	12	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> ( abs ` B ) < x ) )
14	13	ralbidva 2493	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < x ) )
15	14	rexbidva 2494	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < x ) )
16	15	ralbidv 2497	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < x ) )
17	7, 16	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   0cc0 7879   < clt 8061   - cmin 8197   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   RR+crp 9728   abscabs 11162   ~~> cli 11443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-clim 11444

This theorem is referenced by:  climabs0  11472  serf0  11517  divcnv  11662