Theorem clim0c 11329

Description: Express the predicate F converges to 0. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim0.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
clim0.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
clim0.3	|- ( ph -> F e. V )
clim0.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
clim0c.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
clim0c	|- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < x ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   j, M   ph, j, k, x   j, Z, k

Allowed substitution hints:   B( x, j, k)   M( x, k)   V( x, j, k)   Z( x)

Proof of Theorem clim0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim0.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		clim0.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		clim0.3	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
4		clim0.4	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
5		0cnd 7981	. . 3 |- ( ph -> 0 e. CC )
6		clim0c.6	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	clim2c 11327	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( B - 0 ) ) < x ) )
8	1	uztrn2 9577	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
9	6	subid1d 8288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( B - 0 ) = B )
10	9	fveq2d 5538	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( B - 0 ) ) = ( abs ` B ) )
11	10	breq1d 4028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> ( abs ` B ) < x ) )
12	8, 11	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> ( abs ` B ) < x ) )
13	12	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> ( abs ` B ) < x ) )
14	13	ralbidva 2486	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < x ) )
15	14	rexbidva 2487	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < x ) )
16	15	ralbidv 2490	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < x ) )
17	7, 16	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   CCcc 7840   0cc0 7842   < clt 8023   - cmin 8159   ZZcz 9284   ZZ>=cuz 9559   RR+crp 9685   abscabs 11041   ~~> cli 11321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-clim 11322

This theorem is referenced by:  climabs0  11350  serf0  11395  divcnv  11540