Theorem clim0c 10661

Description: Express the predicate F converges to 0. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim0.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
clim0.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
clim0.3	|- ( ph -> F e. V )
clim0.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
clim0c.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
clim0c	|- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < x ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   j, M   ph, j, k, x   j, Z, k

Allowed substitution hints:   B( x, j, k)   M( x, k)   V( x, j, k)   Z( x)

Proof of Theorem clim0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim0.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		clim0.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		clim0.3	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
4		clim0.4	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
5		0cnd 7471	. . 3 |- ( ph -> 0 e. CC )
6		clim0c.6	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	clim2c 10659	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( B - 0 ) ) < x ) )
8	1	uztrn2 9026	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
9	6	subid1d 7772	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( B - 0 ) = B )
10	9	fveq2d 5303	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( B - 0 ) ) = ( abs ` B ) )
11	10	breq1d 3853	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> ( abs ` B ) < x ) )
12	8, 11	sylan2 280	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> ( abs ` B ) < x ) )
13	12	anassrs 392	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> ( abs ` B ) < x ) )
14	13	ralbidva 2376	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < x ) )
15	14	rexbidva 2377	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < x ) )
16	15	ralbidv 2380	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < x ) )
17	7, 16	bitrd 186	1 |- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` B ) < x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   class class class wbr 3843   ` cfv 5010  (class class class)co 5644   CCcc 7338   0cc0 7340   < clt 7512   - cmin 7643   ZZcz 8740   ZZ>=cuz 9009   RR+crp 9124   abscabs 10418   ~~> cli 10653

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-addcom 7435  ax-addass 7437  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-inn 8413  df-n0 8664  df-z 8741  df-uz 9010  df-clim 10654

This theorem is referenced by:  climabs0  10683  serf0  10728  divcnv  10878